Even-Shiloach tree

Even-Shiloach tree，简称ES-Tree，由 Shimon Even 和 Yossi Shiloach于1981年在论文《An on-line edge-deletion problem》中提出，应用于边递减的单源最短路径算法。

用ES-Tree(G,s,D)表示一棵ES-Tree。其中G表示一个全部边权值都为1的图，s表示图的源点，D表示图的边权上界。

ES-tree满足以下条件：
1）Rank(v)=dist(s,v)
2）如果Rank(u)=Rank(v)+1，Parent(u)=v。
3）如果Rank(u)=Rank(v)+1，Children(v)=u。
4）如果Rank(u)=Rank(v)，u=Friend(v)，v=Friend(u)。

这样，所有顶点都可以获得自己的三个点集：Parent集、Children集和Friend集。当我们在G中删除一条边（例如uv，Rank(u)<=Rank(v)），则有以下两种情况。
第一，Rank(u)=Rank(v)，则无需其他变化。
第二，Rank(u)<Rank(v)。如果v的Parent集在删去u后仍不为空集，则更新结束；否则，Rank(v)=Rank(v)+1，然后接着判断v的Friend集是否为空：若不为空，则更新结束；若为空，则标记顶点v进入点集Dirty集，更新顶点v的Parent集、Children集和Friend集。在更新的过程中，如果存在v的邻接点u’’，满足Rank(v)=Rank(u’’)，且Parent(u’’)=空集，则标记u’’进入Dirty集。重复更新关系点集操作直至Dirty集为空。

整理自YouTube，matscience频道视频《Lecture 01 - Even-Shiloach Trees》。