计算一维积分的蒙特卡罗法

计算一维积分的蒙特卡罗法

代码:
function s=monte_carlo(a,b,n)
t=rand(1,n);
x=a+(b-a)t;
s=sum(monte_carlo_f(x));
s=s
(b-a)/n;
end

function f=monte_carlo_f(x)
f=x.^2+sin(x);
end
分别在matlab中运行如下两个代码,则在命令行窗口中会出现如下图所示:
在这里插入图片描述

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### 使用蒙特卡罗方法计算积分 #### 蒙特卡罗方法简介 蒙特卡罗方法是一种基于随机抽样的数值算法,广泛用于解决各种复杂的数学问题。对于定积分的求解,这种方法通过在积分区间内均匀分布大量样本点并统计这些点落在被积函数下的比例来近似估计积分值。 #### 实现思路 为了利用蒙特卡罗方法计算给定函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的定积分: 1. 定义一个矩形区域,其底边位于积分区间的两端 \(a\) 和 \(b\) ,高度等于该区域内最大可能的 \(|f(x)|\). 2. 随机生成大量的二维坐标点 \((x_i,y_i)\),其中 \(x_i\) 均匀分布在 \([a,b]\),而 \(y_i\) 则是在 \([-M,M]\) 或者更具体的范围内取样. 3. 统计所有满足条件 \(0<y<f(x)\) 的点的数量 \(N_{in}\),以及总的采样次数 \(N_{total}\). 4. 计算面积比作为积分估值:\[I=\frac{(b-a)(N_{in})}{N_{total}}.\] 此过程可以重复多次以提高精度,并最终得到较为精确的结果[^2]. #### Python实现例子 下面是使用Python编写的简单程序,它实现了上述描述的过程: ```python import numpy as np def monte_carlo_integration(func, a, b, n_samples=10000): """Calculate definite integral using Monte Carlo method.""" # Generate random samples within bounds xs = np.random.uniform(a, b, size=n_samples) # Evaluate function at sampled points ys = func(xs) # Estimate area under curve by averaging values and multiplying width estimated_area = (b - a) * np.mean(ys) return estimated_area if __name__ == "__main__": from math import sin # Define test function f(x)=sin(x)^2 on interval [0, pi/2] def target_function(x): return np.sin(x)**2 result = monte_carlo_integration(target_function, 0, np.pi / 2) print(f"The approximated value of the integral is {result:.6f}") ``` 这段代码定义了一个名为`monte_carlo_integration()` 的辅助函数,接受待积函数 `func`, 积分上下限 `a`,`b` 及可选参数 `n_samples`. 函数内部会创建一系列服从均匀分布的横坐标位置,并评估对应纵坐标的函数值;最后返回平均后的结果乘上宽度 `(b-a)` 来获得整个曲线下方的总面积. 当运行这个脚本时,将会输出正弦平方函数在一个特定范围内的近似积分值.
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