IEEE754 浮点数存储分析

jinlei2009

已于 2024-01-27 13:01:32 修改

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分类专栏： C++基础知识记录文章标签：算法

于 2024-01-27 13:00:10 首次发布

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本文详细介绍了浮点数在计算机中的存储机制，包括IEEE754标准下的结构组成（符号码、指数码和尾数码）、十进制转浮点数的过程以及浮点数的范围、精度问题和特殊值。还涉及std::signbit和std::numeric_limits的使用实例。

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浮点数数据在计算机中的是按照特定的编码格式进行存储的，下面我们就以float数据-20.5来分析一下浮点数的存储格式。

结构组成

浮点数结构分为三个部分：符号码、指数码、尾数码。

IEEE 754 标准分 3 个类型的浮点数：分别是短浮点数 float，长浮点数 double，临时短浮点数 long double，存储结构如下：

符号码

符号码占用1个bit，占用最高位，对于-20.5数值，符号位为1，代表为负数。对于浮点数符号判断，可以使用std::signbit进行判断，详细见：std::signbit - cppreference.com。

指数码

指数码是最为复杂的字段，指数码表示尾数码偏移的二进制的位数。在 IEEE 754 浮点数标准中，指数码是用移码表示的，移码的计算方式：移码 = 真值 + 偏置值；在浮点数标准中偏置值为 2^(8-1)-1 = 127。如图所示，131=127+4；因此-20.5的指数码为4。

尾数码

在 IEEE 754 浮点数标准中，尾数码部分采用原码表示，且尾数码隐含了最高位 1，在计算时我们需要加上最高位1，即 1.M，我们通过一个例子来表示：

1.01001B = 1 + 0* ${2^{-1}}$ + 1* ${2^{-2}}$ + 0* $2^{-3}$ + 0* $2^{-4}$ + 1* $2^{-5}$ =1.28125

1.01001B = 1 + 0*0.5 + 1*0.25 + 0*0.125+ 0*0.0625 + 1*0.03125 =1.28125

十进制转化为浮点数

接下来咱们就使用-20.5D看看怎样一步一步转化为内存中显示的方式的。

-20.5D分为三个部分： $-20.5=-1.0*(20+0.5)$

-1.0先不进行处理，20D转化为二进制为10100B，0.5D转化为二进制为0.1B，因此20.5D转化为二进制为：10100.1B，将整数部分转化为1，将二进制数据右移4位：1.01001B* $2^{4}$ =10100.1B隐藏整数部分的1，因此尾数码为0.01001B。指数为4，转化为偏移码：4+127=131D，转化为二进制：10000011B。

-20.5D转化为浮点数进行存储时为：符号码1<<31+指数码（10000011B）<<23 + 尾数码（01001000000000000000000B） =11000001101001000000000000000000B。

数值计算value = -1.0（符号位）* $2^{4}$ （指数位：2的4次方）*1.28125 （位数：1（被隐藏）+0.28125）= -20.5；

浮点数范围

绝对值最小值

IEEE 754 单精度浮点型表示的的最小绝对值：尾数码全为 0 ，阶码真值为 -126D（对应的移码为 0000 0001B），此时整体的值为 1.0B * 2^(-126D)

绝对值最大值

IEEE 754 单精度浮点型表示的的最大绝对值：尾数码全为 1 ，阶码真值为 127D（对应的移码为 1111 1110B），此时整体的值为 1.111…B * 2^(127D)

指数码真码特殊值

一般我们正常探讨的指数码真码区间是 -126D ～ 127D，而真值 -127D 的阶码为 0000 0000B，真值 128D 的阶码为 1111 1111B。

指数码真值为 -127

当指数码全为 0 ，尾数不全为 0，表示非规格化小数，用来表示比最小绝对值还要小的数，即

尾数码隐含的最高位不是 1，而是 0；

当指数码全为 0 ，尾数全为 0，表示真值 +/- 0 ；

指数码真码128

当阶码全为 1 ，尾数全为 0，表示正负无穷大 +/- ∞

当阶码全为 1 ，尾数不全为 0，表示非数值 NaN（Not a Number）

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

int main()
{
    float a = 0.11;
    float b = -20.5;
    float c = -0.00000001234567;
    float d = -1.123456789;
    float e = 12.123456789;
    float f = -123.123456789;
    float g = -0.0;
    float h = 0.0;

    int size = sizeof (b);
    bool sigB = std::signbit(b);
    bool sigE = std::signbit(e);
    bool sigG = std::signbit(g);
    bool sigH = std::signbit(h);
    std::cout << "sigB: " << sigB << " , sigE : " << sigE << std::endl;
    std::cout << "sigG: " << sigG << " , sigH : " << sigH << std::endl;
    return 0;
}

浮点数精度问题

由上图可知，对于float类型数据来说，可以表示7位精度的数据，并不是表示小数点后7位数据。std::numeric_limits<float>::epsilon() EPSILON指的是浮点数可表示的最小值，有没有比EPSILON更小的数呢？答案是肯定的。EPSILON被规定为是最小误差，换句话说就是使得EPSILON+1.0不等于1.0的最小的正数，也就是如果正数d小于EPISILON，那么d和1.0相加，计算机就认为还是等于1.0，这个EPISILON是变和不变的临界值。EPSILON被规定为是最小误差的前提是EPSILON加上一个大于1.0的数与不加EPSILON是相等的，但是如果是两个EPSILON相加肯定大于EPSILON。

参考资料：

IEEE754 浮点数：简读+案例=秒懂_ieee754浮点数的计算-优快云博客

IEEE754标准: 一 , 浮点数在内存中的存储方式 - 知乎

std::signbit：std::signbit - cppreference.com

std::numeric_limits的使用：std::numeric_limits的使用_std::numeric_limits<float>::epsilon()-优快云博客

IEEE-754 Floating Point Converter：IEEE-754 Floating Point Converter