平衡二叉树插入操作的详细过程图解

二叉搜索树/二叉排序树/二叉查找树

• 是二叉树、任意结点的左子树的值均小于根节点的值，右子树均大于根节点的值
• 没有键值相等

  平衡二叉树(AVL树)

• 定义

  • 左右字数的高度差的绝对值不超过1，并且两子树都是平衡二叉树
  • 没有键值相等
  • 高度差，又名平衡因子，范围为[-1,0,1]，在此规定==平衡因子 bf = 右子树的高度-左子树的高度==

• 插入操作

  1. 当有新的结点插入之前，该树一定是一个平衡二叉树
  2. 按照普通搜索树的方式插入结点cur
  3. 插入之后，调整cur的 parent.bf：插入到左边 bf --；插入到右边 bf++；
  4. bf变为3种值：
     （1）0：插入结束
     （2）-1/1：调整 bf 的过程向上蔓延
     （3 ）-2/2：进行修复，
  5. 对失衡的情况进行修复
  6. 插入完成之后，该树依然是一个平衡二叉树

• 具体步骤

  • 通过查找，找到key的合适的位置并将key插入（如果已经存在，则放弃查找）

  • 设置并修改平衡因子

    • 设置新插入的结点 cur 的平衡因子，新插入的结点的平衡因子是 0（未调整的），因为一定插入在叶子结点
    • 修改 cur 的父节点 parent 的平衡因子 bf
      • 如果cur是parent的左子树，parent.bf -= 1
      • 如果cur是parent的右子树，parent.bf += 1
    • 修改parent.bf 之后，parent.bf 的取值范围为 [-2,-1,0,1,2]

    • 具体情况如下表：
      

    • 对表格的进一步说明（此处的bf一律指parent.bf）：
      • 当bf修改之前是 -1或者 1 ，修改之后变为 0 时，即在父节点的子树高度较小的那一边插入了新结点，使得父结点的左右子树一样高，说明本次插入对整棵树的高度是没有影响的，即其他结点的平衡因子不会改变，因此插入结束
      • 举个栗子：
      • 当bf修改之前是 0 ，修改之后是 -1 或 1 时，即插入之后导致父结点的左右子树高度差1，说明这棵子树的所有父结点的左右子树的高度都有变化，因此其他结点的平衡因子会发生改变，需继续向上调整
      • 举个栗子：
      • 当bf修改之前是 -1或 1，修改之后是 -2 或 2时，即插入之后父结点的左右子树高度差2，已经失衡，需要将当前 parent 进行调整，使之再次保证平衡，进而参考上表做出下一步操作
      • 举个栗子：
  • 失去平衡的调整方法：

    • 解决失衡的方法口诀

      • 左左失衡，parent右旋；
      • 左右失衡，cur左旋，parent右旋；
      • 右右失衡，parent左旋；
      • 右左失衡，cur右旋，parent左旋；
    • 解析：parent为当前失衡的结点，cur为parent的孩子（新结点所在的子树的根节点）
    • eg:
    • 四种失衡状态：
      
    • 很明显：如果从根节点到新插入的结点是一路向左，即左左失衡；如果中途向右了，即左右失衡；如果一路向右，即为右右失衡；如果中途向左了，即右左失衡；
    • 根据不同的失衡，口诀中有不同的解决方法，接下来我们一起来验证一下吧：
      • ”左左失衡，parent右旋“：
      • 
    • “左右失衡，cur左旋，parent右旋”：
    • 
    • “右右失衡，parent左旋”：
    • 
      • “右左失衡，cur右旋，parent左旋”：
      • 
  • 调整之后，该树还是一个平衡二叉树