jingye333的博客

第一章 事件及其概率(1)1.概率的统计定义将自然界中的事件分为两种：一种是发生结果确定的，可以分为必然事件与不可能事件；另一种则是某个结果可能发生也可能不发生，称为随机事件。对于某种试验，可能出现多种可能结果，出现的每个结果称为随机事件，简称事件。不同事件发生的可能性有大有小，这种可能性大小的量化指标称为事件的概率。对于可以重复进行的试验，如果每一次试验之间互不影响，那么，如果NNN次试验中发生了nnn次事件AAA，则称AAA在NNN次试验中出现的频率为FN(A)=nNF_N(A)=\frac nN

第一章 事件及其概率(2)1.条件概率在之前所讨论的事件发生的概率，都是在一些基本条件下发生的。如果除了基本条件以外还有附加条件，则事件发生的概率会发生改变。这里，常常将附加条件描述为“一个事件发生”，如事件BBB，而在事件BBB发生的条件下AAA发生的概率，就称作事件AAA关于事件BBB的条件概率，记作P(A∣B)P(A|B)P(A∣B)。注意，要计算概率的事件写在前面，作为附加条件而视作发生的事件写在竖线后边。由于在概率的公理化定义中，我们把事件也看成了样本点的集合，因此在事件BBB发生的前提

第二章 随机变量与分布函数(1)1.随机变量随机变量的定义比较抽象，要理解这个定义，可以先了解随机变量的引入背景。对于一个随机试验，随机事件有时表现为与数字无关，如抽球游戏中的“抽红球”、“抽黄球”、“抽白球”等，但还有一些随机事件表现为与数字相关，比如某个街道10分钟“开来1辆车”、“开来2辆车”等离散指标，甚至可以是连续指标，比如测量某物品长度的结果。如果事件表现得和数字相关，自然会对其更深层次的数字特征感兴趣，因此我们可以用某个变量单独表示这个事件中的数，以便研究它的其他性质。随机变量就是对事件中

第二章 随机变量与分布函数(2)1.离散型随机变量离散型随机变量：随机变量ξ\xiξ的值只能取至多可列个，则称为离散型随机变量。这里的可列，包含了有限与无限可列，而既然可列，就可以将所有的可能取值列成x1,x2,⋯ ,xn,⋯x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdotsx1​,x2​,⋯,xn​,⋯的形式。要完整地刻画离散型随机变量，只要对这些单点Borel集求概率即可，也就是求出P(ξ=xi)P(\xi =x_i)P(ξ=xi​)的值，这个值通常记作pip_ipi​或p(xi)p(x_i)p(x

第二章 随机变量与分布函数(3)1.多维随机变量与分布函数多维随机变量也称为随机向量，这个概念很好理解，就是把定义在同一概率空间的两个至多个随机变量联合起来以向量的形式考虑。将随机变量联合起来，主要是考虑它们的相关性问题。与一维随机变量类似，随机向量也有离散型、连续型等，接下来主要考虑二维随机向量(X,Y)(X,Y)(X,Y)。随机变量有分布函数，随机向量一样也有联合分布函数，且定义是类似的：FX,Y(x,y)=P(X≤x,Y≤y).F_{X,Y}(x,y)=P(X\le x,Y\le y).F

第二章 随机变量与分布函数(4)1.随机变量独立性之前将随机变量整合成随机向量是为了研究两个随机变量之间的联系，既然说到联系，就免不了独立性的讨论，这是两个随机变量之间不存在联系的直接指标。事件独立性的概念是，对于两个事件A,BA,BA,B，有P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)，而随机变量每取一个值都可以看做一个事件（落入某个范围也是一个事件）。由随机变量的定义，R\RR上的每个Borel集都是一个事件，因此随机变量独立，实际上对应着事件域的独立。由于

第二章 随机变量与分布函数(5)1.一维随机变量的函数随机变量函数，指的是用某一个普通的实函数g(⋅)g(\cdot)g(⋅)作用于随机变量XXX，这样无论随机变量XXX取什么值xxx，g(X)g(X)g(X)都可以取相应的g(x)g(x)g(x)，显然g(X)g(X)g(X)也是随机变量，它的分布跟XXX存在联系。如果XXX是离散型随机变量，则XXX的所有取值是可列的，那么Y=g(X)Y=g(X)Y=g(X)的所有取值也是可列的，故YYY也是离散型随机变量，且YYY的分布列为P(Y=y)=∑xi:

第三章 数字特征与特征函数(1)1.随机变量的期望求算随机变量将样本点映射到实数，也就是说随机变量的取值总是一族数，这些数对应着不同的概率，那么它们的聚集情况就有一定的特征来刻画。数学期望就是刻画这些数的聚集中心的数字特征，一般地对随机变量XXX，分布函数为F(x)F(x)F(x)，定义XXX的数学期望为（此处可跳过至具体两种情况）∫−∞∞xdF(x)=∑i=1Nxi[F(xi)−F(xi−1)].\int_{-\infty}^\infty xdF(x)=\sum_{i=1}^N x_i[F(x_i

第三章 数字特征与特征函数(2)1.方差的计算与性质方差是另一种数字特征，由于均值反映的是取值的集中点，但是对于同样均值的随机变量，其集中程度可能不同，有的随机变量分布比较分散、有的则比较集中。为了反映数据关于中心的偏离程度，引入期望为Dξ=E(ξ−Eξ)2.D\xi = E(\xi-E\xi)^2.Dξ=E(ξ−Eξ)2.显然，一个随机变量如果存在方差，则必然存在期望。这里的ξ−Eξ\xi-E\xiξ−Eξ代表随机变量偏离其中心的程度，如果不加平方，则随机变量的正偏离与负偏离相互抵消，加了平方

第三章 数字特征与特征函数(3)1.矩前面讨论的数学期望与方差，都反映了关于样本的一些性质，要么是样本本身的平均水平EξE\xiEξ，要么是样本关于平均水平偏差的平均水平E(ξ−Eξ)2E(\xi-E\xi)^2E(ξ−Eξ)2。现在，我们将对这两种“平均”作一个扩展，引申出“矩”的概念。矩分为两种：原点矩和中心矩。接下来用到的符号在不同教材中可能不统一。kkk阶原点矩，是以随机变量自身为核心的概念，其形式是ak=Eξk,k∈Z+.a_k=E\xi^k,\quad k\in \Z^+.ak​=

第三章 数字特征与特征函数(4)1.特征函数随机变量的特征函数，顾名思义反映随机变量的特征。前面提到的随机变量数字特征，虽然可以反映一部分随机变量的特征，但并不能完全刻画一个随机变量，也就是说具有相同期望和方差的随机变量可能是不同的。典型例子就是不同分布随机变量的标准化变量具有相同的期望和方差，但它们显然不一样。这里提到的特征函数就是和分布函数一样，能够完全确定随机变量的函数，但又具有良好的性质。随机变量ξ\xiξ的特征函数定义是：fξ(t)=Eeitξ,t∈R.f_\xi(t)=Ee^{it\x

第四章 极限定理(1)1.依分布收敛数列极限、函数极限、级数极限都已经用严格的方式证明了，但随机变量是无穷多的样本点映射到实数的，如果有一列随机变量列，要描述它的收敛性，应该采用怎样的定义，是值得讨论的问题。依分布收敛是随机变量收敛的一种定义，它的定义对象主要是刻画随机变量的分布函数，因而叫依分布收敛。一列随机变量{ξn}\{\xi_n\}{ξn​}依分布收敛于ξ\xiξ，需要满足{ξn}\{\xi_n\}{ξn​}的分布函数{Fn(x)}\{F_n(x)\}{Fn​(x)}弱收敛与ξ\xiξ的分布函

第四章 极限定理(2)1.Lindeberg-Levy CLT中心极限定理(CLT, central limit theorem)，揭露的是一般分布与正态分布的普遍性联系，这也侧面说明了正态分布在概率论中的重要意义。CLT的一般定义如下：如果有一列随机变量{ξn}\{\xi_n\}{ξn​}，若存在常数列{Bn}>0\{B_n\}>0{Bn​}>0和{An}\{A_n\}{An​}，使得1Bn∑k=1nξk−An→dN(0,1),\frac{1}{B_n}\sum_{k=1}^n