动态规划——最长公共子序列

题目描述：

两个字符串如"programming"和"contest"的最长公共子序列为“on”,长度为2；

                        “abcd”和"mnp"的最长公共子序列为""，长度为0；

                         "bcdb"和“abcbdab”的最长公共子串为“bcdb”，长度为4；

注：相应的下标必须递增。如"bcdb"对应“abcbdab”的下标为{2，3，5，7}；

递推关系：

设序列X={x1,x2,……xm}和Y={y1,y2,……yn}的最长公共子序列为Z={z1,z2,……zk}。则有：

      (1)若xm=yn,则zk=xm=yn,且zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。

      (2)若xm!=yn且zk!=xm，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列。

      (3)若xm!=yn且zk!=yn，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。

      其中，Xm-1={x1,x2……xm-1}，Yn-1={y1,y2……yn-1},Zk-1={z1,z2……zk-1}。

转自：http://blog.youkuaiyun.com/liufeng_king/article/details/8500084

 构造最优解：由以上分析可知，要找出X={x1,x2,……xm}和Y={y1,y2,……yn}的最长公共子序列,可以按以下方式递归进行：当xm=yn时，找出xm-1和yn-1的最长公共子序列，然后在尾部加上xm(=yn)即可得X和Y的最长公共子序列。当Xm!=Yn时，必须解两个子问题，即找出Xm-1和Y的一个最长公共子序列及X和Yn-1的一个最长公共子序列。这两个公共子序列中较长者为X和Y的最长公共子序列。设数组path[i][j]记录matrix[i][j]的值由哪一个子问题的解得到的，从path[m][n]开始，依其值在数组b中搜索，当path[i][j]=1时，表示Xi和Yj的最长公共子序列是由Xi-1和Yj-1的最长公共子序列在尾部加上xi所得到的子序列。当path[i][j]=2时，表示Xi和Yj的最长公共子序列与Xi-1和Yj的最长公共子序列相同。当path[i][j]=3时，表示Xi和Yj的最长公共子序列与Xi和Yj-1的最长公共子序列相同。

//递归方法
	public int maxLen(String str1,String str2,int i,int j)
	{
		if(i==0||j==0)//i,j表示前i个字符构成的子串和前j个字符构成的子串;
		{
			return 0;
		}
		if(str1.charAt(i-1)==str2.charAt(j-1))//字符下标从0开始；
			return maxLen(str1,str2,i-1,j-1)+1;
		else
		{
			if(maxLen(str1,str2,i-1,j)>maxLen(str1,str2,i,j-1))//两个序列的i和j不是同时增减的关系，只表示两个序列的长度；
				return  maxLen(str1,str2,i-1,j);
			else
				return  maxLen(str1,str2,i,j-1);
		}
	}
	
	//DP_自底向上的方式；matrix[m][n]存放长度为m和n的字符串的最长子串值；
	public int maxLen_DP(String str1,String str2,int m,int n)
	{
		int [][]matrix=new int [m+1][n+1];//自底向上循环方式数组定义在内部；
		//m==0或n==0时，matrix[m][n]=0;
		for(int i=1;i<=m;i++)//两层for循环；
		{
			
			for(int j=1;j<=n;j++)
			{
				if(str1.charAt(i-1)==str2.charAt(j-1))
				{
					matrix[i][j]=matrix[i-1][j-1]+1;
					path[i][j]=1;
				}
				else
				{
					if(matrix[i][j-1]>matrix[i-1][j])
					{
						matrix[i][j]=matrix[i][j-1];
						path[i][j]=2;
					}
					else
					{
						matrix[i][j]=matrix[i-1][j];
						path[i][j]=3;
					}
				}
			}
		}
		return matrix[m][n];
	}
	 //构造最优解，用一个矩阵path存放路径;
	 //进行不同的路径选择时分别设为状态1,2,3;
	 int [][]path=new int[13][13];
	//构造最优解的函数;
		public void LCS(String str1,int [][]path,int i,int j)
		{
			if(i==0||j==0)
				return;
			if(path[i][j]==1)
			{
				LCS(str1,path,i-1,j-1);
				System.out.print(""+str1.charAt(i-1));
			
			}
			else if(path[i][j]==3)
			{
				LCS(str1,path,i-1,j);
			}else if(path[i][j]==2)
			{
				LCS(str1,path,i,j-1);
			}
		}