最近公共祖先LCA---在线倍增算法

最新推荐文章于 2024-03-25 22:05:03 发布

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分类专栏：算法总结数据结构

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本文详细介绍了一种高效的LCA（最近公共祖先）查询算法——倍增算法。首先通过深度优先搜索(DFS)预处理每个节点的深度，然后利用倍增思想预处理每个节点向上推移2的j次方后的节点，最后通过类似于二分查找的方式快速定位最近公共祖先。适用于多次查询场景。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

在线求LCA，多次询问。倍增算法时间复杂度为 $\left ( n+q \right )\log_{2}n$ 。

1、dfs求每个节点所在层数

void dfs(int u,int root,int d)
{
    int i;
    depth[u]=d;
    fa[u][0]=root;//初始化
    int sz=edge[u].size();
    for(i=0;i<sz;i++)
    {
        int v=edge[u][i].v;
        int w=edge[u][i].w;
        if(v!=root)
        {
            dis[v]=dis[u]+w;
            dfs(v,u,d+1);
        }
    }
}//搜索出各点的深度，以1为根节点，根节点的深度为0

2、倍增算法预处理出每个节点向上推移2的j次方后的节点

void bz()
{
    int i,j;
    for(j=1;(1<<j)<=N;j++)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
        }
    }
}

3、查找最近公共祖先

类似于二分的思想，两个节点按2的i（1,2,3,4,...）次方向上推移,推移到一定程度，他们的祖先序列完全相同。如果推移一段时间后找到这两个节点相同的祖先了，那么这个祖先节点一定是最近公共祖先或者最近公共祖先的祖先，向下搜索；否则，继续向上找。

int LCA(int u,int v)
{
    if(depth[u]<depth[v])
        swap(u,v);//保证深度较大的为u
    int dc=depth[u]-depth[v];
    int i;
    for(i=M-1;i>=0;i--)
        if((1<<i)&dc)
            u=fa[u][i];
    if(u==v)
        return u;//u移到了和v一个点，该点就是他们的最近公共祖先
    for(i=M-1;i>=0;i--)//u和v现在已经在一层，他们往上走几层之后祖先序列相同
    {//找到最小的不满足相同序列的点，
        if(fa[u][i]!=fa[v][i])
        {
            u=fa[u][i];
            v=fa[v][i];
        }
    }
    return fa[u][0];//最后，最近公共祖先为找到的点的祖先
}