四元数的转换（二）

四元数不仅能和矩阵之间进行相互转换，还能和欧拉角之间进行相互转换。当然，在看着一片博客的时候，会默认为你已经了解啥是欧拉角了，并且知道，它是怎么用的。

这一篇中还是有大量的数学公式，写起来听麻烦的，因此我们贴图，还有，我们不是专业的数学课，只是讲这些数学只是在游戏中的应用，不讲某一些数学公式的推到过程。

1.欧拉角转换为四元数：

设四元数q=（w,x,y,z）,绕着空间中任意一个向量n=<nx,ny,nz>旋转，则这个四元数q=(cosθ/2,nx*sinθ/2,ny*sinθ/2,nz*sinθ/2)。欧拉角的分量h,p,b都讲转换为四元数。

因此，我们得到每一个分量：

所以，四元数q=hxpxb，注意中间的是向量的叉乘。

注意，这是从物体坐标系到惯性坐标系，而从惯性坐标系到物体坐标系是这个四元数的共轭四元数。

2.四元数转换为欧拉角

在这里我们需要借助于矩阵来实现我们的转换。

首先，将四元数转换为矩阵，然后再将矩阵转换为四元数。

2.1矩阵转换为四元数：

首先，将欧拉角转换为旋转矩阵：从物体坐标系到惯性坐标系

其中BPH都是欧拉角绕着旋转轴的旋转矩阵。其中我们可以得到

m32=-sinp,p=-arcsin(m32)

m31/m33=sinh/cosh=tanh,h=arctan(m31/m33)

m12/m22=sinb/cosb=tanb,b=arctan(m12/m22)

之前，我们得到了四元数和矩阵之间转换，他们个个元素之间的对应关系是：

进一步：

因此，我们可以得到，四元数和欧拉角之间各个元素之间的关系：

最后希望各位看客将这些公式能够编程实现，能够理解的更加的透彻