整数分解成不同加数的最大乘积

探讨了如何通过编程寻找一个自然数的所有可能分解方式,并找出这些分解中加数乘积的最大值。采用了一种从2开始寻找连续整数作为因子的方法,并在必要时将剩余数值合理分配至已找到的因子之中。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

题库建设


题目

设n为一自然数,n可以分解成若干个不同的自然数的和,这样的分法有很多种,比如n=10, 10可以分解为:10=5+4+1; 10=5+3+2; 10+9+1; 10=8+2; 10=7+3; 10=6+4; 10=,7+2+1; 10=6+3+1;…。在所有这些分法中,各加数乘积最大的为30, (10=5+3+2中加数的乘积为5*3*2=30)。试编写程序,求各种分解方法中各加数乘积的最大值。

输入要求:输入只有1行,自然数n。

输出要求:输出也只有1行,所有分解方法中各加数乘积的最大值。

代码

发现一个规律:就是连续的整数乘积是最大的,比如12:
12 = 2+3+4+3=3+4+5=2+4+6
发现3*4*5最大
13 = 2+3+4+4 = 3+4+6最大
可以总结出:从2开始依次求出连续的加数因子,最后将剩下的数平均分到前面的因子里(如果有的话),比如9 = 2+3+4就不用分了,像13这种平均分完之后还剩了1,那肯定加在最大的数了。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {

    int n = 0;//待分解的数
    cin >> n;
    int factor[50] = { 0 };//存放因子的数组
    int i = 0;

    //从2开始分解出因子
    for (int j = 2; j <= n; j++) {
        factor[i++] = j;
        n -= j;
    }

    if (0 != n) {
        if (n == i + 1) {//即现在的n比因子数还多一个,不可能均匀分配,所以加在最后先
            factor[i - 1]++;
            n--;
        }
        for (int j = 0; j < n; j++) {//从后往前依次加1
            factor[i - j - 1]++;
        }
    }

    int max = 1;

    for (int j = 0; j < i; j++) {
        max *= factor[j];
    }

    cout << max << endl;
    return 0;
}
整数最大乘积分解个经典的学问题,通常指将个正整数分解成若干个正整数乘积,使得这些整数乘积最大。这个问题可以通过动态规划或贪心算法来解决。 ### 动态规划解法 动态规划是种通过将问题分解成子问题来解决复杂问题的方法。对于正整数最大乘积分解,我们可以定义个数组 `dp`,其中 `dp[i]` 表示字 `i` 的最大乘积。 1. 初始化 `dp[0] = 0` 和 `dp[1] = 1`。 2. 对于每个数字 `i`,我们可以通过遍历 `1` 到 `i-1` 的所有可能的分解点 `j`,计算 `j * (i-j)` 和 `j * dp[i-j]`,并取其中的最大值。 3. 更新 `dp[i]` 为计算出的最大值。 ### 贪心算法解法 贪心算法是种在每步选择中都采取当前状态下最好或最优的选择,从而希望导致结果是全局最好或最优的算法。对于正整数最大乘积分解,贪心算法的策略是尽可能多地分解出 `3`,因为 `3` 是最接近 `e` 的整数,而 `e` 是使得乘积最大的因子。 1. 如果 `n == 2`,返回 `1*1`。 2. 如果 `n == 3`,返回 `2*1`。 3. 如果 `n` 能被 `3` 整除,返回 `3` 的若干次方。 4. 如果 `n` 被 `3` 除余 `1`,返回 `3` 的若干次方乘以 `4`。 5. 如果 `n` 被 `3` 除余 `2`,返回 `3` 的若干次方乘以 `2`。 ### 示例代码 ```python def max_product(n): if n == 2: return 1 * 1 if n == 3: return 2 * 1 dp = [0] * (n + 1) dp[1] = 1 dp[2] = 2 dp[3] = 3 for i in range(4, n + 1): for j in range(1, i // 2 + 1): dp[i] = max(dp[i], dp[j] * dp[i - j]) return dp[n] def max_product_greedy(n): if n == 2: return 1 * 1 if n == 3: return 2 * 1 result = 1 while n >
评论 3
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值