利用BFS或动态规划解决路径算法问题

一、力扣64. 最小路径和

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

1.找出DP状态

此题需要求出从左上角出发，到达坐标(m,n)的路径数字和最小值。因此不难想到，子问题就是从左上角出发，到达坐标(i,j)的路径数字和最小值。

令 f[i][j]表示从左上角到坐标(i,j)的路径数字和最小值，原问题即可被划分为多个求最优值的子问题，且由于每次只能向下或向右移动一步，因此 f[i][j]的取值由f[i-1][j]和f[i][j-1]的值决定。

进一步验证，可以发现， f[i][j] 的取值与f[i-1][j]和f[i][j-1]所对应的具体路径无关。

2.找出DP状态转移方程

确定完「DP 状态」后，继续确定「DP 转移方程」。

dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]

这里需要注意边界问题，比如第一行和第一列，只能向下或者向右运动。

3. 算法实现

// 利用动态规划
    /**
     * 从左上角出发，到达坐标(i,j)的路径数字和最小值。
     * 令 f[i][j]表示从左上角到坐标(i,j)的路径数字和最小值，原问题即可被划分为多个求最优值的子问题，
     * 且由于每次只能向下或向右移动一步，因此 f[i][j]的取值由f[i-1][j]和f[i][j-1]的值决定，即符合「最优子结构原则」。
     * 进一步验证，可以发现， f[i][j] 的取值与f[i-1][j]和f[i][j-1]所对应的具体路径无关，因此符合「无后效性」。
     * 则dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]
     * 这里需要注意边界问题，比如第一行和第一列，只能向下或者向右运动。
     *
     * @param grid
     * @return
     */
    public static int minPathSum(int[][] grid) {
   
        // 判断数据是否为空
        if(grid==null||grid.length==0||grid[0].length==0){
   
            return 0;
        }
        // 行
        int rows = grid.length;
        // 列
        int cols = grid[0].length