MIT线性代数笔记-第11讲-矩阵空间，秩1矩阵，小世界图

11.矩阵空间，秩$1$矩阵，小世界图

矩阵空间

1. 矩阵空间：由矩阵组成的向量空间，记作$M$

2. 所有$3\ast 3$矩阵组成一个向量空间，其子空间包括所有$3\ast 3$上三角阵的集合，所有$3\ast 3$对称矩阵的集合等（二者的交集——所有$3\ast 3$对角阵的集合也是其的一个子空间）

3. 可以将一个$3\ast 3$矩阵视为一个$9$维向量，进而可以得到所有$3\ast 3$矩阵组成的向量空间的一组基：

   $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\cdots ,\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$，因而所有$3\ast 3$矩阵组成的向量空间维数为$9$

   类似地，所有$3\ast 3$上三角阵组成的向量空间、所有$3\ast 3$对称矩阵组成的向量空间维数均为为$6$，所有$3\ast 3$对角阵组成的向量空间维数为$3$

4. 所有$3\ast 3$上三角阵组成的向量空间、所有$3\ast 3$对称矩阵组成的向量空间的和即为所有$3\ast 3$矩阵组成的向量空间

5. 同一向量空间的两个不同子空间的维数之和等于二者的交集及二者的和的维数之和

   证明： 设两个子空间分别为$A,B$，维数即某向量空间的基中元素的个数，因而$A,B$的交集的维数即为两者基的最大相同元素数，$A,B$的和的维数即为两者基的最大相同元素数加上两者基的最小不同元素数，得证

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秩$1$矩阵

1. 所有秩$1$矩阵都可以表示为一列乘一行的形式

   证明： 秩$1$矩阵即$r=1$的矩阵，因而其各行均平行，又列乘行相当于列中各元素分别乘行再按顺序写下，所以秩$1$矩阵一定可以表示为列乘行的形式

2. 可以将任意矩阵拆分为$r$个秩$1$矩阵

3. 所有元素之和为$0$的列的集合是一个向量空间（易得其对线性运算封闭），它的维数是元素数减一（因为它代表相同元素数的元素只有$1$的行的零空间而该行的秩为$1$）

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小世界图

1. 图：节点和边的集合
2. 环/回路（$loop$）：终点与起点一致的图，分为有向与无向，也可以认为是一个有关边组
3. 树：无环的图，也可以认为是一个无关边组
4. 六度分离猜想：世界上任意两个人最多可通过六条边联系到一起

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