MIT线性代数笔记-第9讲-线性相关性，基，维数

9.线性相关性，基，维数

线性相关

1. $n>m$时，$A$的零空间中一定不只有$\vec{0}$

   证明：$n>m$时，一定存在自由变量，而自由变量可以任取

2. 线性无关：对于一组向量，除了系数全部取$0$外没有任何线性组合可以得到$\vec{0}$，则这些向量线性无关

3. 任何向量都和$\vec{0}$线性相关（任何向量乘$0$都得到$\vec{0}$），因而任何向量组中只要有$\vec{0}$，都算线性相关组

4. 若某矩阵零空间中只有$\vec{0}$则其各列线性无关（如单位阵），否则线性相关

5. $r=n$，各列线性无关，$r<n$，线性相关，行类似

6. 两列/行的任何一段对应部分无关，两列/行无关

7. 两个行满秩矩阵相乘所得矩阵行满秩，两个列满秩矩阵相乘所得矩阵列满秩

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基

1. 某些向量生成一个空间：该空间中包含这些向量的所有线性组合
2. 基：数个互相线性无关且能生成某空间的向量集合，叫做该空间的基（类似高中所讲的基底）
3. 将基中的向量表示为列向量且组成一个矩阵，则该矩阵一定为可逆方阵，此时这些向量构成方阵的列空间的一组基
4. 对于同一空间，所有基中向量个数相同，该数量即为该空间的维数，矩阵$A$的维数记作$dim(A)$
5. 任意矩阵主列的集合均为列空间的一组基
6. 任意矩阵的秩均等于其列/行空间的维数
7. 任意矩阵零空间的维数均等于其自由变量数（每个自由变量对应一个特解，这些特解线性无关）
8. 通过一组基得到同空间下的任意向量均分别有且只有一种线性组合方式（平面向量基本定理的高维推广）（$暂时不会证明$）

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