欧拉角，四元数，旋转

欧拉角，四元数，旋转

欧拉角

欧拉角是我们最常用最熟悉的表示刚体姿态的数学表示：

1. 绕物体的 Z 轴旋转，得到偏航角 yaw；
2. 绕旋转之后的 Y 轴旋转，得到俯仰角 pitch；
3. 绕旋转之后的 X 轴旋转，得到滚转角 roll。

此时，我们可以使用$[r,p,y{]}^T$ 这样一个三维的向量描述任意旋转。这个向量十分的直观，我们可以从这个向量想象出旋转的过程。

欧拉角的一个重大缺点是会碰到著名的万向锁问题（Gimbal Lock①）：在俯仰角为±90◦ 时，第一次旋转与第三次旋转将使用同一个轴，使得系统丢失了一个自由度（由三次旋转变成了两次旋转）。这被称为奇异性问题，在其他形式的欧拉角中也同样存在。由于这种原理，欧拉角不适于插值和迭代。

四元数

四元数简介

四元数是一种很好的描述刚体姿态的方式（Quaternion）。四元数是 Hamilton 找到的一种扩展的复数. 它既是紧凑的，也没有奇异性。如果说缺点的话，四元数不够直观，其运算稍为复杂一些。

一个四元数 $q$ 拥有一个实部和三个虚部:

$\mathbf{q}=q_0+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k$

由于它的这种特殊表示形式，有时人们也用一个标量和一个向量来表达四元数：

$\mathbf{q}=[s,\mathbf{v}],s=q_0\in \mathbb{R},\mathbf{v}={\left[q_1,q_2,q_3\right]}^T\in {\mathbb{R}}^3$

这里，$s$ 称为四元数的实部，而 $v$ 称为它的虚部。如果一个四元数虚部为 0，称之为实四元数。反之，若它的实部为 0，称之为虚四元数。

我们知道一个模长为 1 的复数，可以表示复平面上的纯旋转（没有长度的缩放），那么，三维空间中的旋转是否能用单位四元数表达呢？答案也是肯定的。

假设某个旋转是绕单位向量$\mathbf{n}={\left[n_x,n_y,n_z\right]}^T$进行了角度为 $\theta$ 的旋转，那么这个旋转的四元数形式为：

q = [ cos ⁡ θ 2 , n x sin ⁡ θ 2 , n y sin ⁡ θ 2 , n z sin ⁡ θ 2 ] T \boldsymbol { q } = \left[ \cos \frac { \theta } { 2 } , n _ { x } \sin \frac { \theta } { 2 } , n _ { y } \sin \frac { \theta } { 2 } , n _ { z } \sin \frac { \theta } { 2 } \right] ^ { T } q=[cos2θ​,n