线性基_矩阵线性基-优快云博客

本文探讨了如何在异或运算的基础上定义线性基，包括其性质、如何构造线性基并进行合并，以及如何通过异或操作判断数是否属于该基底空间。介绍了求秩、求最大/最小元素的方法，展示了在信息技术中的实际应用。

线性基

线性基这个概念来自于线性代数，即一个矩阵的列向量所能表示空间的一组最小基底。

我们在异或运算下面也可以定义一个空间，即一组数 $[x1,x2,…,xn][x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ 由异或运算进行组合，能够表示的空间。

同理，我们定义异或意义下的线性基，表示为是一组数 $[x1,x2,…,xn][x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ 的一个基底 $[b1,b2,…,bm][b_{1},b_{2},\ldots,b_{m}]$ ，基底的异或空间和原数组的异或空间相同。即如果一个数能由 $a_{i}$ 表异或示，那么也能用 $b_{i}$ 异或表示，反之也成立。

还有，线性基是一个极大线性无关子集。

同理与线性代数秩的概念，线性基的大小也是这组数的秩。

构造线性基

下面所有矩阵的概念都是01矩阵。

我们把每一个 $a_{i}$ 数的二进制看成是矩阵的行向量。进行阶梯化简。

我们定义， $b_{i}$ 元素为主元列（最高位 $1$ 所在的元素位置）为第 $i$ 列的行向量。

一开始的矩阵为零矩阵，每次添加一个数 $x$ ，我们从最高位开始扫描 $x$ ，如果遇到了最高位，并且最高位为 $k$ ，首先看他是不是主元，如果 $b_{k}=0$ ，那么说明当前 $k$ 位没有主元， $x$ 应该充当主元行，因此 $b_{k}=x$ 。如果 $bk≠0b_{k} \neq 0$ ，那么说明当前行向量 $x$ 可以被 $b_{k}$ 高斯消元，因此令 $\bigoplus b_{k}$ ，结果是 $x$ 第 $k$ 位上的 $1$ 被高斯消元了，继续检索 $x$ 下一个最高位，如果 $x$ 检索到 $0$ 仍未被插入到 $b$ 中，那么说明最初的 $x$ 可以被当前的线性基表示，因此 $x$ 不是一个无关组向量，直接舍弃。

用代码总结一下这个过程：

#define M64 64

struct LinearBasis
{
    ll basis[M64];

    LinearBasis()
    {
        fill(basis, basis + M64, 0);
    }

    void insert(ll x)
    {
        for (int i = M64 - 1; i >= 0; i--)
        {
            if ((x & (1ll << i)) == 0)
                continue;

            if (basis[i] == 0)
            {
                basis[i] = x;
                break;
            }
            else
            {
                x ^= basis[i];
            }
        }
    }
};

合并线性基

我们只需要把一个线性基中的所有向量插入到另外一个线性基上即可。

    void merge(const LinearBasis &o)
    {
        for (int i = 0; i < M64; i++)
            insert(o.basis[i]);
    }

求秩

在插入的时候，记录秩的大小即可。

#define M64 64

struct LinearBasis
{
    ll basis[M64];
    int rank;

    LinearBasis()
    {
        fill(basis, basis + M64, 0);
        rank = 0;
    }

    void insert(ll x)
    {
        for (int i = M64 - 1; i >= 0; i--)
        {
            if ((x & (1ll << i)) == 0)
                continue;

            if (basis[i] == 0)
            {
                basis[i] = x;
                rank++;
                break;
            }
            else
            {
                x ^= basis[i];
            }
        }
    }

    void merge(const LinearBasis &o)
    {
        for (int i = 0; i < M64; i++)
            insert(o.basis[i]);
    }
};

判断一个数是否是线性基空间中的元素

模拟插入的过程，如果可以插入到 $b$ 中，说明这个数是无关组里的元素，因此不是原线性基空间中的元素，如果不可用插入到 $b$ 中，说明说明这个数不是无关组里的元素，是原线性基空间中的元素。

    bool include(ll x)
    {
        for (int i = M64 - 1; i >= 0; i--)
        {
            if ((x & (1ll << i)) == 0)
                continue;

            if (basis[i] == 0)
            {
                return false;
                break;
            }
            else
            {
                x ^= basis[i];
            }
        }
        return true;
    }

求一个数和线性基能表示的最大元素

设一个数为 $x$ ，我们从最高位开始向后检索，例如检索到第 $k$ 位，如果这个位上是 $1$ ，那么不管 $b_{k}$ 是零还是非零都不可能最优了，因为如果是零，那么不会改变 $x$ 的值，如果是非零，进行异或运算之后第 $k$ 位上的数字反而变成零了。

如果这个位上是 $0$ ，那么不管 $b_{k}$ 是不是零，都是最优的。如果是非零，那么异或之后该位上的数字必定是 $1$ ，尽管后面的二进制位可能小了，但是不影响最优的结果。

总结一句话，就是取最大值，贪心思想。

    ll getMax(ll x = 0)
    {
        for (int i = 63; i >= 0; i--)
        {
            x = max(x, x ^ basis[i]);
        }
        return x;
    }

求最小元素

和求最大元素相反，我们也可以讨论四种情况，结果发现，我们只需要贪心最小元素即可。

    ll getMin(ll x = 0)
    {
        for (int i = 63; i >= 0; i--)
        {
            x = min(x, x ^ basis[i]);
        }
        return x;
    }

求第 $k$ 小的数

我们必须对这个线性基表示成最简阶梯型，之后，设剩下非零的向量的个数为 $c n t$ ，那么，这个线性基空间的大小为 $2^{cnt}$ ，即可以表示出 $2^{cnt}$ 个不同的数，因为，对每一个行向量，都可以选择异或或者不异或。

化简之后，最简阶梯型满足进位加法，因此可以根据 $k$ 的二进制位来确定要异或上的元素。