函数连续性导论

函数连续性导论

一般而言，函数的图像不需要遵守太多的要求，只有一点比较特殊，函数图像它必须满足垂线检验，这并没有要求特别多。只要满足垂线检验图像可以散落四处：这里有一部分，那里有一条垂直渐近线，或者图像是随心所欲地在各处散落任意个不连续的点。所以现在我们想要看看，如果对函数图像要求略微多一点会发生什么：我们将要讨论函数图像两种类型的光滑性。第一种首先是连续性，通过字面意思直觉告诉我们，连续函数的图像必须能一笔画成。

那么什么是垂线检验？函数的图像是所有坐标为 $(x,f(x))$ 的点的集合。我们以某个实数开始，如果 $x$ 在定义域中，则在坐标中画出点 $(x,f(x))$，这个点在 $x$ 轴的点 $x$ 的垂直线上，距离 $x$ 轴高度为 $f(x)$。如果 $x$ 没有在定义域中，则坐标中不存在该点。现在，对于每一个实数 $x$，我们重复这一个过程，从而构造出函数的图像。

垂线检验的作用？垂直检验用于判断画出的图形是否是函数的图像。它的思想是：不可能有两个点有相同的 $x$ 坐标。换句话说，在图像上没有两个点会落在相对于 $x$ 轴的同一条垂线上。要不然，我们如何知道在点 $x$ 上的两个或多个坐标点中，哪一个坐标点的高度（$y$ 值）对应了 $f(x)$ 的值呢。

连续的字面意思是一个接一个，连贯的，意思大概就是延绵不断的，所以对于函数连续的定义不用怀疑就是简单的字面意思，函数的图像是不是处处相互连接的，

不过连续听着好像要求函数要满足连续的话就必须在所有地方连续（就类似于上图一样，函数曲线在任何地方保持延绵不断），在无穷远处也能连续。事实上并不是这样，有时对连续性只要求函数在一点处或在一个区间上能够保持连续即可。