一维树状数组的基本操作及简单应用_c++ 给出若干整数,进行两类操作 1 x y-优快云博客

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树状数组

基本操作
简单应用

基本操作

一、单修区查

洛谷P3374
题目描述
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

将某一个数加上 xx

求出某区间每一个数的和

输入格式
第一行包含两个正整数 n,m，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含 n个用空格分隔的整数，其中第 i个数字表示数列第 i项的初始值。

接下来 m 行每行包含 3个整数，表示一个操作，具体如下：

1 x k 含义：将第 x个数加上 k

2 x y 含义：输出区间 [x,y] 内每个数的和

输出格式
输出包含若干行整数，即为所有操作 2的结果。
对于 100% 的数据，1 <= n, m <= 5 * 10⁵

输入 #1
5 5
1 5 4 2 3
1 1 3
2 2 5
1 3 -1
1 4 2
2 1 4
输出 #1
14
16

代码

//单修区查 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define lowbit(x) x&(-x) //返回非负整数x在二进制表示下最低位1及其后面的0构成的数值
const int N = 5e5+10;
int n, m;
LL a[N];
LL tr[N];

//将序列中第x个数加上k
void add(int x, int k)
{
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += k;
}

//查询序列前x个数的和
LL ask(int x)
{
    LL ans=0;
    for(int i = x; i ; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        scanf("%lld",&a[i]);
        add(i,a[i]);
    }
    while(m--)
    {
        int op, x, y, k;
        scanf("%d%d", &op, &x);
        if(op==2)
        {
            scanf("%d",&y);
            cout << ask(y)-ask(x-1) << endl;
        }
        else
        {
            scanf("%d",&k);
            add(x,k);
        }
    }
    return 0;
}

二、区修单查

洛谷P3368
题目描述
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

将某区间每一个数数加上 x；

求出某一个数的值。

输入格式
第一行包含两个整数 N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含 N个用空格分隔的整数，其中第 i 个数字表示数列第 i 项的初始值。

接下来 M 行每行包含 2 或 4个整数，表示一个操作，具体如下：

操作 1：格式：1 x y k 含义：将区间 [x,y] 内每个数加上 k；

操作 2：格式：2 x 含义：输出第 x个数的值。

输出格式
输出包含若干行整数，即为所有操作 2的结果。
对于 100% 的数据，1 <= n, m <= 5 * 10⁵
输入输出样例
输入 #1
5 5
1 5 4 2 3
1 2 4 2
2 3
1 1 5 -1
1 3 5 7
2 4
输出 #1
6
10

代码

//区修单查 
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 5e5+10;
typedef long long LL;
int n, m;
int a[N];  //原数组
LL tr[N];  //差分数组 

int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}
void add(int x, int k)
{
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += k;
}
LL ask(int x)
{
    LL res = 0;
    for(int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) add(i, a[i]-a[i-1]); //维护差分数组
    while(m--)
    {
        int op;
        int l, r, k;
        scanf("%d%d",&op, &l);
        if(op == 1)
        {
            scanf("%d%d",&r, &k);
            add(l, k);
            add(r+1, -k); //前缀和思想
        }
        else
        {
            printf("%lld\n",ask(l));
        }
    }
    return 0;
}

三、区修区查

AcWing 243.一个简单的整数问题2
题目描述
给定一个长度为N的数列A，以及M条指令，每条指令可能是以下两种之一：

1、“C l r d”，表示把 A[l],A[l+1],…,A[r] 都加上 d。

2、“Q l r”，表示询问数列中第 l~r 个数的和。

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

输入格式
第一行两个整数N,M。

第二行N个整数A[i]。

接下来M行表示M条指令，每条指令的格式如题目描述所示。

输出格式
对于每个询问，输出一个整数表示答案。

每个答案占一行。

数据范围
1 ≤ N, M ≤ 10⁵,
|d| ≤ 10000,
|A[i]| ≤ 1000000000
输入样例：
10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q 4 4
Q 1 10
Q 2 4
C 3 6 3
Q 2 4
输出样例：
4
55
9
15

解析

1.这是一道最常见的树状数组模板题，用于实现区间的修改与求和，在时间与空间上都优于带lazy标记的线段树。
2.具体分析，请看大佬题解

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 100010;
int n, m;
int a[N];
LL tr1[N];  // 维护b[i]的前缀和
LL tr2[N];  // 维护b[i] * i的前缀和

int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}

void add(LL tr[], int x, LL k)
{
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += k;
}

LL sum(LL tr[], int x)
{
    LL res = 0;
    for(int i = x; i ; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

LL prefix_sum(int x)  //a[]的前缀和
{
    return sum(tr1, x) * (x + 1) - sum(tr2, x);
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int b = a[i] - a[i - 1];  //差分数组
        add(tr1, i, b);
        add(tr2, i, (LL)b * i);
    }

    while(m --)
    {
        char op[2];
        int l, r, d;
        scanf("%s%d%d", op, &l, &r);
        if(*op == 'Q')
        {
            printf("%lld\n", prefix_sum(r) - prefix_sum(l - 1));
        }
        else
        {
            scanf("%d", &d);
            // a[l] += d
            add(tr1, l, d), add(tr2, l, l * d);
            // a[r + 1] -= d
            add(tr1, r + 1, -d), add(tr2, r + 1, (r + 1) * -d);
        }
    }

    return 0;
}

简单应用

一、谜一样的牛

AcWing 244
题目描述
有n头奶牛，已知它们的身高为 1~n 且各不相同，但不知道每头奶牛的具体身高。

现在这n头奶牛站成一列，已知第i头牛前面有Ai头牛比它低，求每头奶牛的身高。

输入格式
第1行：输入整数n。

第2…n行：每行输入一个整数Ai,第i行表示第i头牛前面有Ai头牛比它低。
（注意：因为第1头牛前面没有牛，所以并没有将它列出）

输出格式
输出包含n行，每行输出一个整数表示牛的身高。

第i行输出第i头牛的身高。

数据范围
1 ≤ n ≤ 10⁵
输入样例：
5
1
2
1
0
输出样例：
2
4
5
3
1

代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 100010;
int n;
int h[N];
int ans[N];
int tr[N];   //树状数组维护h[1]~h[n]的前缀和

int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}

void add(int x, int c)
{
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

int sum(int x)    
{
    int res = 0;
    for(int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 2; i <= n; i ++) scanf("%d", &h[i]);  //i从2开始，因为h[1]默认为0
    for(int i = 1; i <= n; i ++) tr[i] = lowbit(i);  //初始化，每一个区间的总和=区间长度（优化版）
    // add(i,1)也可，每个数都是1
    for(int i = n; i; i --)  //从后往前推
    {
        int k = h[i] + 1; //第i头牛前面有h[i]头牛比它矮，说明ans[i]在剩下的牛中排名h[i]+1
        int l = 1, r = n;
        while(l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1;
            if (sum(mid) >= k) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        ans[i] = r;
        add(r, -1);   //删除某个数
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++) printf("%d\n", ans[i]);

    return 0;
}

二、楼兰图腾

AcWing 241
题目描述
在完成了分配任务之后，西部314来到了楼兰古城的西部。

相传很久以前这片土地上(比楼兰古城还早)生活着两个部落，一个部落崇拜尖刀(‘V’)，一个部落崇拜铁锹(‘∧’)，他们分别用V和∧的形状来代表各自部落的图腾。

西部314在楼兰古城的下面发现了一幅巨大的壁画，壁画上被标记出了N个点，经测量发现这N个点的水平位置和竖直位置是两两不同的。

西部314认为这幅壁画所包含的信息与这N个点的相对位置有关，因此不妨设坐标分别为(1,y1),(2,y2),…,(n,yn),其中y1~yn是1到n的一个排列。

西部314打算研究这幅壁画中包含着多少个图腾。

如果三个点(i,yi),(j,yj),(k,yk)满足1≤i<j<k≤n且yi>yj,yj<yk，则称这三个点构成V图腾;

如果三个点(i,yi),(j,yj),(k,yk)满足1≤i<j<k≤n且yi<yj,yj>yk，则称这三个点构成∧图腾;

西部314想知道，这n个点中两个部落图腾的数目。

因此，你需要编写一个程序来求出V的个数和∧的个数。

输入格式
第一行一个数n。

第二行是n个数，分别代表y1，y2,…,yn。

输出格式
两个数，中间用空格隔开，依次为V的个数和∧的个数。

数据范围
对于所有数据，n≤200000,且输出答案不会超过int64。
y1∼yn 是 1 到 n 的一个排列。

输入样例：
5
1 5 3 2 4
输出样例：
3 4

解析请看大佬题解

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 2000010;
typedef long long LL;
int n;
int a[N];
LL t[N]; //t[i]表示树状数组i结点覆盖的范围和
//Lower[i]表示左边比第i个位置小的数的个数
//Greater[i]表示左边比第i个位置大的数的个数
LL Lower[N], Greater[N];

int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}

void add(int x, int k)
{
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) t[i] += k;
}

LL ask(int x)
{
    LL sum = 0;
    for(int i = x; i; i -= lowbit(i)) sum += t[i];
    return sum;
}

int main()
{

    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
    //从左向右，依次统计每个位置左边比第i个数y小的数的个数以及大的数的个数
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int y = a[i]; //第i个数
        //在前面已加入树状数组的所有数中统计在区间[1, y - 1]的数字的出现次数
        Lower[i] = ask(y - 1); 
        //在前面已加入树状数组的所有数中统计在区间[y + 1, n]的数字的出现次数
        Greater[i] = ask(n) - ask(y);
        //将y加入树状数组，即数字y出现1次
        add(y, 1);
    }
    //清空树状数组，从右往左统计每个位置右边比第i个数y小的数的个数以及大的数的个数
    memset(t, 0, sizeof t);
    LL resA = 0, resV = 0;
    for(int i = n; i >= 1; i --)
    {
        int y = a[i];
        resA += (LL)Lower[i] * ask(y - 1);
        resV += (LL)Greater[i] * (ask(n) - ask(y));
        //将y加入树状数组，即数字y出现1次
        add(y, 1);
    }
    printf("%lld %lld\n", resV, resA);
    return 0;
}