部分搜索问题方法整理

一、世界冰球锦标赛

洛谷P4799

方法简析

1.这是一道典型的折半搜索题。
2.C++ STL 函数：upper_bound
在升序的容器中，upper_bound( begin,end,num)：从容器的begin位置到end-1位置二分查找第一个大于num的元素，找到返回该元素的地址，不存在且查找元素小于容器内所有元素则返回begin，大于则返回end。通过返回的地址减去起始地址begin,得到查找元素在数组中的下标。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define pb push_back
LL n, m;
LL p[50], ans;
vector <LL> a, b;
void dfs(LL l, LL r, LL sum, bool st)
{
	if(sum > m)	return;
	if(l > r)
	{
		if(!st) a.pb(sum);
		else b.pb(sum);
		return;
	}
	dfs(l+1, r, sum+p[l], st);
	dfs(l+1, r, sum, st);
}

int main()
{
	scanf("%lld%lld", &n, &m);
	for(int i=1; i<=n; i++)
		scanf("%lld", &p[i]);
	dfs(1, n/2, 0, 0);
	dfs(n/2+1, n, 0, 1);
	sort(a.begin(), a.end());
	for(LL i=0; i<b.size(); i++)
		ans += upper_bound(a.begin(), a.end(), m-b[i]) - a.begin();
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}

二、第K短路

给定一张N个点（编号1,2…N），M条边的有向图，求从起点S到终点T的第K短路的长度，路径允许重复经过点或边。

注意： 每条最短路中至少要包含一条边。

输入格式
第一行包含两个整数N和M。

接下来M行，每行包含三个整数A,B和L，表示点A与点B之间存在有向边，且边长为L。

最后一行包含三个整数S,T和K，分别表示起点S，终点T和第K短路。

输出格式
输出占一行，包含一个整数，表示第K短路的长度，如果第K短路不存在，则输出“-1”。

数据范围
1≤S,T≤N≤1000,
0≤M≤10⁵,
1≤K≤1000,
1≤L≤100

分析

1.经典A*算法计算最短路。
2.Dijkstra算法：前提是所有边权都是非负的，求起点到其他所有点的最短路径。
具体流程：每一次先把起点连续，从队列当中取出当前权值最小（距离起点最近）的点，那么取出点的最短距离一定是它离起点的距离，它不可能再被其他任何点更新。因此第一次出队列的点就是最小值。
3.A*算法是一种启发式搜索：在最短路问题中，如果所有边权都是非负的，那么就可以用启发函数来优化BFS过程。
特征：
（1）目标是求从某一个点开始到目标点的最短距离
（2）点数非常多，不能算出全部点的最短距离。
–>优化：构造启发函数f(s)表示当前状态到终点状态需要的距离估计是多少，dist[s]表示当前点到起点的实际距离，在队列中按照dist[s]+f(s)来排序。
具体操作：
（1）把每个点的状态用f(state)作为启发值，g(s)表示当前点到目标点的实际距离。
（2）只要满足f(s) <= g(s)，就可以保证，当某个状态s第一次从优先队列中出来时，它的距离就一定是最短距离。
dist[s] + f(s) <= dist[t] + f(t) <= dist[t] + g[t] <= dist[t] + g[t] +edge(t -> s)
（3）如果f(s) = 0，那么就会退化为Dijkstra算法；如果f(s) = g(s)，那么就不需要枚举多余的点（线性做法）。
针对本题：
1.暴力做法：从S开始，每次取出队头，然后将所有边全部加入队列中。
2.优化：加入估价函数f(ver -> T)表示当前点到终点的最短距离。
3.思路：
（1）建立反图，然后在反向图中求出T到其他所有点的最短距离，作为每个点的估价函数。
（2）从S开始扩展，每次取出当前的估计值最小的点，将其所有能扩展到的点全部扩展。估计值 = 距离起点的真实距离 + 估价函数 。
（3）当第K次遇到T时，就求出了从S到T的第K短路。
（4）优化：当某个点已经出队K次，就不需要再更新它。

代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;

#define x first
#define y second
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<int, PII> PIII;

const int N = 1010, M = 200010;
int n, m, S, T, K;
//h[]表示正向边的邻接表的表头，rh[]表示反向边的邻接表的表头，e[]表示所有点
int h[N], rh[N], e[M], w[M], ne[M], idx; //数组模拟链表
int dist[N], f[N];
int st[N]; //st[]表示每个点出队多少次


void add(int h[], int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

void dijkstra()
{
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
    heap.push({0, T}); //终点
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[T] = 0; //反向图
    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        int ver = t.y;
        if (st[ver]) continue;
        st[ver] = 1;
        for (int i = rh[ver]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[ver] + w[i]) //未更新
            {
                dist[j] = dist[ver] + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }
    memcpy(f, dist, sizeof f);
}

int astar()
{
    priority_queue<PIII, vector<PIII>, greater<PIII>> heap;
    heap.push({f[S], {0, S}}); //按估价函数排序
    memset(st, 0, sizeof st);
    while(heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        int ver = t.y.y, distance = t.y.x;
        if(st[ver] >= K) continue;
        st[ver] ++;
        if (st[T] == K) return distance;
        for (int i = h[ver]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (st[j] < K)
                heap.push({distance + w[i] + dist[j], {distance + w[i], j}});// 真实值 distance+w[i]
        }
    }

    return -1;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof h);
    memset(rh, -1, sizeof rh);
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(h, a, b, c);
        add(rh, b, a, c);
    }
    scanf("%d%d%d", &S, &T, &K);
    if (S == T) K ++;
    dijkstra();
    printf("%d\n", astar());

    return 0;
}