狐狸与鸭子的问题（文章转载，具体公式的分析原创）

话说，一个圆形池塘，鸭子在池塘里，狐狸在岸边。鸭子只有游到岸边才能飞走。而狐狸想吃鸭子。但是狐狸又不会游泳，只能在岸上跑。狐狸在岸上奔跑的速度是鸭子在水里游的速度的4倍，问鸭子怎样才能飞走而不被狐狸吃掉。假设狐狸足够聪明。

一个可行的想法是，鸭子在池塘里面游小圈，而狐狸在面跑大圈，但是被鸭子越落越远，之后当鸭子和狐狸处于最远距离时，鸭子径直游向岸边飞走，而狐狸要抓到鸭子得跑半圈，但是跑到鸭子起飞地点时，鸭子早就飞走了。那么计算一下小圈半径与大圈半径的关系。

鸭子必须越游落下狐狸越远，得出：

r/R < 1/4-----------(1)

之后当鸭子和狐狸距离最远时，鸭子游向岸边，而狐狸跑半圈却追不到鸭子，又得到一个关系：

(R-r)/v < pi*R/4v => r > R - pi*R/4 -------(2)

综合(1)(2)得：

R-pi*R/4<r<R/4----------(3)

这就意味着鸭子挑选一个合适的半径r,满足(3)这个不等式，之后就一直绕圈游，狐狸不得不在岸上跟着跑，因为不跟着跑，鸭子会越来越离狐狸远。但是跑也是无用功，因为狐狸永远跟不上鸭子的速度。当鸭子和狐狸的距离为R+r时，鸭子就朝着岸边游，这时狐狸想抓也抓不到。这样鸭子就成功逃走了。

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我的理解

公式1的得来：

假设鸭子速度为v，狐狸速度为V）

由题意可知：

V狐=4V鸭

那么只要鸭游一圈比狐狸跑一圈的时间少即可：

由此可得出公式1

接着，当狐狸与鸭子距离最远时，也就是在各自的半径上，方向相反，但是此时的半径方向是同一条直线：

白线箭头处是鸭子的位置，得出公式：

 也就是题目中的公式2

由此可得出不等式。

ps，刚才群里又在讨论，继续贴一个这个问题的最终来源：

趣题：竞技场里的狮子能否保证抓住最高速度相同的小明？