Fibonacci数列的log(n)解法

最新推荐文章于 2022-10-23 19:08:49 发布
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本文介绍了如何将Fibonacci数列的时间复杂度降至O(log(n))。通过矩阵相乘的形式，利用二叉树结构进行优化，避免了递归的指数级时间复杂度。通过计算log(n)+1次矩阵相乘，可以得到第n项的Fibonacci数。对于奇数n，需要额外处理。提供了具体的实现代码。

对于Fibonacci数列，每一项等于前两项的和 1，1，2，3，5，8，13，21..., 可以用公式表示为fb(n)=fb(n-1)+fb(n-2), 这个问题如果用最简单的递归来做，时间复杂度是指数，如果用动态规划记住每一步递归算出来的值，则时间复杂度为O(n). 但是有一种更简单的方法，可以将时间复杂度降到O(log(n)). 

首先，Fibonacci数列可以表示成矩阵相乘的形式

      那么进一步可以推出：，如果直接计算，那么时间复杂度仍然是O(n)，但是此处的，由于其是不断重复计算，所以有优化的空间。为了方便起见，使用a代替

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