动态规划——矩阵连乘的问题

动态规划算法与分页发类似，基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

与分冶法不同的是，适合于用动态规划法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是相互独立的。所以若用分冶法解这类问题，则分解得到的子问题太多，以至于最后解决原问题需要消耗指数时间。

在分冶法中，保存下了已解决的子问题的答案，在需要时再找出以求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。

动态规划的步骤：

（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征

（2）递归地定义最优值

（3）以自底向上的方式计算出最优值

（4）根据计算最优值时得到的信息，构造最优解

给定n个矩阵，{ A1 , A2 , A3 , A4 ...... An } ，期中相邻的矩阵都是可以相乘的，由于矩阵乘法满足结合律，故存在不同的乘法顺序

比如对于矩阵 A1 , A2 , A3 , A4 , A5

可以有 （A1 （A2 （A3 （A4 A5））））   ，  （A1 （A2 （A3 A4） A5））） ... 等的组合乘法顺序

首先考虑两个矩阵乘积所需计算量，若A使p*q的矩阵，B是q*r的矩阵，则其乘积C=AB是一个p*r的矩阵，共需要pqr次数乘。

计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3} 结舌维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50

按此顺序计算需要的次数（（A1*A2）*A3）:10X100X5+10X5X50=7500次

按此顺序计算需要的次数（A1*（A2*A3））:10X5X50+10X100X50=75000次

所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。

穷举搜索P(n)随n呈指数增长，下面考虑用动态规划法解：

1、分析最优解的结构

将AiAi+1...Aj记为A[i:j]，考查计算A[1:n]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，1<=k<n，则其相应的完全加括号方式为((A1...Ak)(Ak+1...An))。它的总计算量为A[1:k]的计算量加上A[k+1:n]的计算量，再加上A[1:k]和A[k+1:n]相乘的计算量。

这个问题的一个关键特征是：计算A[1:n]的最优次序包含的计算矩阵子链A[1:k]和A[k+1:n]的次序也是最优的。

因此，矩阵连乘积计算次序问题的最优解包含其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法求解的显著特征。

2、建立递归关系

设计算A[i:j]，1<=i<=j<=n所需的最少数乘次数为m[i][j],则原问题的最优值为m[1][n]。

当i=j时，A[i:j]为单一矩阵，无需计算，因此m[i][i]=0,i=1,2,...n。

当i<j时，可利用最优子结构计算m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1*pk*pj

若将对应于m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。

3、计算最优值

用动态规划算法解此问题，可依据其递归式自底向上地计算，并保存已解决子问题的答案。

先计算出m[i][i] = 0,i=1,2,...n，然后根据递归式，按矩阵链长递增的方式依次计算m[i][i+1],i=1,2,...,n;m[i][i+2],i=...；...。易知，后边所用到的等号右边的数据都已经在前边被计算过

4、构造最优解

上算法只计算出了最优值，并未给出最优解，但已记录了构造最优解所需要的全部信息。s[i][j]中的数k表明计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和ak+1之间断开即最优哦的加括号方式应为(A[i:k])(A[k+1:j])。因此，从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式。

#include<stdio.h>

void MatrixChain(int *p , int n , int m[][10] , int s[][10]) {
	int i , j , k , r , temp;
	// map[i][i]即为一个矩阵，所以赋值为0
	for(i=1 ; i<=n ; i++) {
		m[i][i] = 0;
	}
	// 从底向上，r代表此次每r个相邻矩阵相乘　
	for(r=2 ; r<=n ; r++) {
		// A[i:j],i表示第一个矩阵,j表示最后一个矩阵
		for(i=1 ; i<=n-r+1 ; i++) {
			j = i + r - 1;
			// k表示每次的断开点，从k= i...j-1
			k = i; 
			// k取值从i...j-1，由于开始map[i][j]为空，for循环需要对比
			// 所以把k=i第一次放在for外面
			m[i][j] = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
			// s记录每次的断开点
			s[i][j] = k;
			for(k=i+1 ; k<j ; k++) {
				// 对于每个k断开点，计算其计算量
				temp = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
				// 记录最小值和最小值时的断开点
				if(temp < m[i][j]) { 
					m[i][j] = temp;
					s[i][j] = k;
				}
			}
		}	
	}
}

// 计算A[i:j]的乘法顺序
void Traceback(int i , int j , int s[][10]) {
	if(i == j) {
		return;
	}
	// s[i][j]记录A[i:j]最佳方式的断开点,即( A[i,s[i][j]] )( A[s[i][j]+1][j])
	// 递归调用断开点的左侧和右侧
	printf("A%d...A%d 在k = %d处断开\n" , i , j , s[i][j]);
	Traceback(i , s[i][j] , s);
	Traceback(s[i][j]+1 , j , s);
}

int main() {
	int m[10][10] , s[10][10];
	int n = 5;
	// 这里假设n =5，
	// 矩阵的维数分别为30X35,35X15,15X5,5X10,10X20,20X25
	int p[10] = {30,35,15,5,10,20,25};
	MatrixChain(p,n,m,s);

	Traceback(1,n,s);
	printf("\n");
	return 0;
}

转载： http://blog.youkuaiyun.com/hb188753472/article/details/6672590