阿里大佬的算法学习笔记：树状数组

树状数组（Binary Index Tree, BIT）也是很多OIer心中最简洁优美的数据结构之一。最简单的树状数组支持两种操作，时间复杂度均为

• 单点修改：更改数组中一个元素的值
• 区间查询：查询一个区间内所有元素的和

当然，树状数组能维护的不局限于加法，支持的操作也不止这两种，甚至有大佬能用树状数组实现平衡树，但这篇笔记不会深入讨论（因为我也还不是很懂hh）。

我们还是先来看一道模板题，来看看树状数组最基本的应用场景：

（HDU P1166）敌兵布阵

Problem Description
C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说："我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的.Input
第一行一个整数T，表示有T组数据。每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。接下来每行有一条命令，命令有4种形式：(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30）(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）;(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数;(4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现;每组数据最多有40000条命令Output
对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。

这个数据范围，直接模拟肯定会T，所以我们要使用数据结构来维护数组，树状数组可以说是其中最简洁的一种。我们来看看树状数组是怎么实现的。

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树状数组的引入

回顾一下，我们说，我们要实现两种操作：单点修改和区间求和。对于普通数组而言，单点修改的时间复杂度是，但区间求和的时间复杂度是

普通数组

当然，我们也可以用前缀和的方法维护这个数组，这样的话区间求和的时间复杂度就降到了，但是单点修改会影响后面所有的元素，时间复杂度是。

程序最后跑多长时间，是由最慢的一环决定的，因此现在我们希望找到这样一种折中的方法：无论单点修改还是区间查询，它都能不那么慢地完成。

注意到对进行区间查询只需查询和然后相减即可（前缀和就是这样进行区间查询的），所以我们可以把区间查询问题转化为求前n项和的问题。

关于数组的维护，有个很自然的想法：可以用一个数组维护若干个小区间，单点修改时，只更新包含这一元素的区间；求前n项和时，通过将区间进行组合，得到从1到n的区间，然后对所有用到的区间求和。实际上，设原数组是，如果维护的区间是

，此结构就相当于普通数组（还浪费了一倍内存）；如果维护的区间就是，此结构就相当于前缀和。现在我们试图寻找一种结构，一方面，单点修改时需要更新的区间不会太多；另一方面，区间查询时需要用来组合的区间也不会太多。

树状数组就是这样一种结构，它巧妙地利用了二进制（实际上，树状数组的英文名BIT，直译过来就是二进制下标树）。例如11，转化为二进制数就是，如果我们要求前11项和，可以分别查询以及的和再相加。这三个区间怎么来的呢？其实就是不断地去掉二进制数最右边的一个1的过程（如下图）。

我们定义，二进制数最右边的一个1，连带着它之后的0为（稍后再来看如何实现）。那么我们用维护区间，这样显然查询前n项和时需要合并的区间数是少于的。树状数组的结构大概像下面这样：

那么如何更新呢，大家会发现更新就是一个“爬树”的过程。一路往上更新，直到MAXN（树状数组的容量）。

我们举个例子来看看这树是怎么爬的。 现有二进制数，包含它的最小区间当然是。然后，它也肯定位于区间内。然后是，再然后是……

如上图，每一步都把从右边起一系列连续的1变为0，再把这一系列1的前一位0变为1。这看起来像是一个进位的过程对吧？实际上，每一次加的正是。（神奇吧？）这样，我们更新的区间数不会超过。一个能以时间复杂度进行单点修改和区间查询的数据结构就诞生了。

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树状数组的实现

前面已经讲得很详细了，代码实现倒是一件简单的事了。不过我们需要先解决一个问题：lowbit怎么算？如果一位一位验证的话，会形成额外的时间开销。然而，我们有这样神奇的一个公式：

为什么可以这样？我们需要知道，计算机里有符号数一般是以补码的形式存储的。-x相当于x按位取反再加1，会把结尾处原来1000...的形式，变成0111...，再变成1000...；而前面每一位都与原来相反。这时我们再把它和x按位与，得到的结果便是lowbit(x)。下面的图中举了两个例子：

现在我们可以愉快地实现树状数组了：

单点修改

int tree[MAXN];
inline void update(int i, int x)
{
    for (int pos = i; pos < MAXN; pos += lowbit(pos))
        tree[pos] += x;
}

求前n项和

inline int query(int n)
{
    int ans = 0;
    for (int pos = n; pos; pos -= lowbit(pos))
        ans += tree[pos];
    return ans;
}

区间查询

inline int query(int a, int b)
{
    return query(b) - query(a - 1);
}

初始化的时候，我们只需要update每个点的初始值即可。

树状数组的应用

还是先来看文章一开始那道题目的AC代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MAXN 50005
#define lowbit(x) ((x) & (-x))
int tree[MAXN];
inline void update(int i, int x)
{
    for (int pos = i; pos < MAXN; pos += lowbit(pos))
        tree[pos] += x;
}
inline int query(int n)
{
    int ans = 0;
    for (int pos = n; pos; pos -= lowbit(pos))
        ans += tree[pos];
    return ans;
}
inline int query(int a, int b)
{
    return query(b) - query(a - 1);
}
int main()
{
    int cases;
    scanf("%d", &cases);
    for (int I = 1; I <= cases; ++I)
    {
        memset(tree, 0, sizeof(tree));
        int n, x, a, b;
        char opr[10];
        printf("Case %d:\n", I);
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            scanf("%d", &x);
            update(i, x);
        }
        while (scanf("%s", opr), opr[0] != 'E')
        {
            switch (opr[0])
            {
            case 'A':
                scanf("%d%d", &a, &b);
                update(a, b);
                break;
            case 'S':
                scanf("%d%d", &a, &b);
                update(a, -b);
                break;
            case 'Q':
                scanf("%d%d", &a, &b);
                printf("%d\n", query(a, b));
            }
        }
    }
    return 0;
}

然而，这只是树状数组最基本的应用。树状数组的应用是非常广泛的，例如，非常常见的一个应用是求逆序对：

（洛谷P1908） 逆序对

题目描述
猫猫TOM和小老鼠JERRY最近又较量上了，但是毕竟都是成年人，他们已经不喜欢再玩那种你追我赶的游戏，现在他们喜欢玩统计。最近，TOM老猫查阅到一个人类称之为“逆序对”的东西，这东西是这样定义的：对于给定的一段正整数序列，逆序对就是序列中ai>aj且i<j的有序对。知道这概念后，他们就比赛谁先算出给定的一段正整数序列中逆序对的数目。输入格式
第一行，一个数n，表示序列中有n个数。第二行n个数，表示给定的序列。序列中每个数字不超过10^9输出格式
给定序列中逆序对的数目。

当然逆序对也可以用归并排序的方法求，但树状数组的空间复杂度更低。其实我们与其说在用树状数组求逆序对，不如说是在求非严格顺序对（顺序对和相等对），然后间接算出逆序对的数量。我们是怎么算出非严格顺序对的个数的呢？

例如，我们要求5 4 1 3 2的逆序对。用ans记录非严格顺序对的数量。

我们按顺序去填充树状数组，第一个数字是5，这时没有数比5小，所以ans保持为0。我们把tree[5]填为1。

下一个数字是1，这时也没有数比1小，ans仍为0。我们把tree[1]填为1。

下一个数字是3，这时query(3)为1，有一个数比3小了，ans变为1。然后再填tree[3]。

下一个数字是2，这时query(2)为1，说明前面有一个数比2小，ans再加1变为2。然后填tree[2]。

最后一个数字是4，query(4)为3，说明前面有3个数比4小，ans加3变为5。所以非严格顺序对的总数就是5。那么逆序对共有个。

当然，这道逆序对的题还涉及到离散化等问题，这个以后可能我也会写相关笔记。完整代码如下：

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define lowbit(x) ((x) & (-x))
#define MAXN 500010
using namespace std;
typedef long long ll;

ll read()  //快速读入，不是这篇文章的重点
{
    ll ans = 0;
    char c = getchar();
    while (!isdigit(c))
        c = getchar();
    while (isdigit(c))
    {
        ans = ans * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    return ans;
}
ll tree[MAXN];
inline void update(ll i, ll x)
{
    for (ll pos = i; pos < MAXN; pos += lowbit(pos))
        tree[pos] += x;
}
inline ll query(int n)
{
    ll ans = 0;
    for (ll pos = n; pos; pos -= lowbit(pos))
        ans += tree[pos];
    return ans;
}
inline ll query(ll x, ll y)
{
    return query(y) - query(x - 1);
}
int A[MAXN]; //离散化后的数组
typedef struct
{
    ll value, id;
} mypair;
mypair B[MAXN]; //原始数组（同时存储id）
bool cmp(mypair x, mypair y)
{
    if (x.value < y.value)
        return true;
    else if (x.value == y.value && x.id < y.id)
        return true;
    return false;
}
int main()
{
    ll n = read(), sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        B[i].value = read();
        B[i].id = i;
    }
    sort(B + 1, B + n + 1, cmp);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        A[B[i].id] = i;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        sum += query(A[i]);
        update(A[i], 1);
    }
    sum = n * (n - 1) / 2 - sum;
    printf("%lld\n", sum);
    return 0;
}

这里面还写了一个快速读入，可以不必太在意，重点还是在于这段代码：

for (int i = 1; i <= n; i++)
{
    sum += query(A[i]);
    update(A[i], 1);
}

其实单单是对这个求逆序的拓展应用，就有不少题目了，可见这个树状数组的应用面是多么广泛。但这篇文章已经很长了（我的水平也有限），就先写到这儿吧。