<think>我们面对的问题：在C++中计算坐标系平移和旋转后点的新坐标。
步骤：
1. 坐标系平移：将点从原坐标系平移到新坐标系的原点（即减去平移向量）。
2. 坐标系旋转：将平移后的点绕新坐标系原点旋转（使用旋转矩阵）。
注意：旋转矩阵的构造。假设旋转角度为θ（逆时针为正），则旋转矩阵为：
$$
R = \begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
$$
对于三维情况，我们通常需要指定旋转轴。但问题中未明确维度，我们以二维为例（三维类似，但旋转矩阵更复杂）。
然而，用户提供的引用中提到了以任意点为中心旋转（引用1）和三维坐标变换（引用2、3、4）。因此，我们可能需要考虑两种情况：二维和三维。
根据用户问题，我们主要关注二维情况（因为问题没有明确三维，且引用1是二维的），但也可以提及三维。
二维情况：
假设我们有一个点P(x, y)，现在要将坐标系先平移（平移向量为(Tx, Ty)）再旋转（角度为θ，逆时针），求点在新坐标系下的坐标？或者求点在同一个世界坐标系下经过平移和旋转后的新坐标？
注意：坐标系变换和点的变换是相对的。这里有两种理解：
理解1：坐标系A变换到坐标系B，那么同一个点P在坐标系A中的坐标(x,y)变换到坐标系B中的坐标(x',y')。
理解2：将点P在同一个坐标系中进行平移和旋转，得到新点P'。
根据用户问题，似乎是同一个坐标系中的点经过变换得到新坐标（即理解2）。但引用1和引用3都涉及坐标变换。
实际上，点的变换和坐标系的变换是互逆的。我们这里按照点的变换（即固定坐标系，点移动）来考虑。
步骤：
1. 平移：将点P(x,y)平移(Tx, Ty)，得到新点P1(x+Tx, y+Ty)。
2. 旋转：将P1绕原点旋转θ角度，得到新点P2。
但是，通常我们可能先旋转再平移？顺序很重要。用户问题中要求“坐标系平移和旋转”，这个顺序可以理解为：先进行坐标系的平移，再进行坐标系的旋转。那么对于同一个点，在变换后的坐标系中的坐标，相当于在变换前的坐标系中，将点先反向旋转再反向平移。
然而，用户要求的是“点的新坐标”，这里我们理解为：在同一个世界坐标系下，点随着坐标系变换而变换（即点固定在坐标系中，坐标系变换后，该点在新坐标系中的位置不变，但在原世界坐标系中的坐标改变了）。所以，我们要求的是变换后点在世界坐标系中的新坐标。
因此，变换步骤（针对点）：
1. 先旋转：将点绕原点旋转θ角度（如果是坐标系旋转θ，则点相当于旋转-θ）。
2. 再平移：将旋转后的点平移(Tx, Ty)。
注意：顺序不同结果不同。用户要求的是“坐标系平移和旋转”，那么坐标系变换可以分解为：先平移(Tx, Ty)再旋转θ。那么，点P在变换后的坐标系中的坐标不变，但在原世界坐标系中的坐标需要经过一个变换：即先旋转θ，再平移(Tx, Ty)（因为坐标系变换的逆变换就是点的变换）。
所以，为了得到点P在变换后的坐标系中的坐标，我们实际上需要计算点P在变换后的坐标系中的坐标，但用户要求的是“点的新坐标”可能是指同一个点在新坐标系下的坐标？或者是指同一个点经过坐标系变换后在世界坐标系中的新位置？
用户问题没有明确，但根据引用1和引用3，都是计算点在世界坐标系中的新坐标（即点随着坐标系变换而移动）。所以，我们按照以下步骤：
假设：原世界坐标系为W，变换后的坐标系为W'。变换过程：坐标系W先平移(Tx, Ty)得到中间坐标系，再旋转θ角度得到W'。
那么，一个固定在坐标系中的点（在W'坐标系中具有坐标(x,y)），在W坐标系中的坐标是多少？
设点P在W'中的坐标为(x,y)，求在W中的坐标。
步骤：
1. 将W'中的点旋转回去：因为W'是由中间坐标系旋转θ得到，所以将点(x,y)在中间坐标系中旋转-θ（即θ的逆旋转）得到点在中间坐标系中的坐标：
$$ \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$
注意：这里旋转矩阵是W'到中间坐标系的变换，所以用逆矩阵，而旋转矩阵的逆就是它的转置（因为正交矩阵），但这里我们直接写旋转-θ的矩阵（即上面矩阵）。
2. 再将中间坐标系中的点平移回去（减去平移量）得到在W坐标系中的坐标：
$$ x_w = x_1 - T_x $$
$$ y_w = y_1 - T_y $$
所以，综合起来：
$$ \begin{bmatrix} x_w \\ y_w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} T_x \\ T_y \end{bmatrix} $$
但是，用户可能想的是：已知点P在W坐标系中的坐标(x_w, y_w)，求在W'坐标系中的坐标(x,y)。那么就是上面的逆过程。
然而，用户问题描述为“坐标系平移和旋转后点的新坐标”，这个“点”是指原坐标系中的点，变换后在新坐标系中的坐标？还是指同一个点变换后在原世界坐标系中的新坐标？这里存在歧义。
根据引用1：“计算以任意点为中心旋转θ角度后的新坐标”，这里是指点旋转后在世界坐标系中的新坐标。所以，我们按照点的变换（即固定在世界坐标系，点移动）来考虑。
重新理解：用户要求的是，将坐标系进行平移和旋转，然后求原来坐标系中的点在新坐标系中的坐标？还是求原来坐标系中的点随着坐标系变换后在世界坐标系中的新坐标？
用户问题：“计算坐标系平移和旋转后点的新坐标”。这里“点”应该是原坐标系中的点，我们要求的是变换后该点在新坐标系中的坐标。那么，这就是坐标变换的正向过程。
设：原坐标系为W，新坐标系为W'。W'是由W先平移(Tx, Ty)再旋转θ得到的。那么，一个点P在W中的坐标为(x_w, y_w)，求在W'中的坐标(x', y')。
步骤：
1. 将点P从W坐标系变换到W'坐标系，相当于将点P先减去平移向量，再旋转-θ（因为坐标系旋转了θ，所以点需要旋转-θ才能得到在新坐标系中的坐标）：
a. 平移：点变为 (x_w - T_x, y_w - T_y)
b. 旋转：使用旋转矩阵（旋转-θ，即θ的负角，所以矩阵为：
$$ R = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} $$
注意：旋转-θ的矩阵就是旋转θ的矩阵的转置。
c. 所以，新坐标：
$$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = R \cdot \begin{bmatrix} x_w - T_x \\ y_w - T_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_w - T_x \\ y_w - T_y \end{bmatrix} $$
2. 因此，公式为：
$$ x' = (x_w - T_x) \cos\theta + (y_w - T_y) \sin\theta $$
$$ y' = -(x_w - T_x) \sin\theta + (y_w - T_y) \cos\theta $$
但是，如果坐标系变换的顺序是先旋转后平移，则不同。用户问题中说的是“平移和旋转”，即先平移后旋转。
所以，我们按照先平移后旋转的顺序。
总结：已知原坐标系中的点P(x_w, y_w)，平移向量(Tx, Ty)，旋转角度θ（逆时针），求在新坐标系中的坐标(x', y')。
代码实现（二维）：
注意：角度θ可能以度为单位，而C++的三角函数使用弧度，所以需要转换。
步骤：
1. 将角度转换为弧度（如果输入是度）。
2. 计算平移后的点：x1 = x_w - Tx, y1 = y_w - Ty
3. 计算旋转后的坐标：
x' = x1 * cos(theta) + y1 * sin(theta)
y' = -x1 * sin(theta) + y1 * cos(theta)
注意：这个旋转矩阵是旋转-θ，因为坐标系旋转了θ，点相对于坐标系旋转了-θ。
然而，另一种常见的做法是：将整个坐标系变换视为一个刚体变换，可以用齐次坐标表示变换矩阵。变换矩阵T为：
T = [ R | t ]
[ 0 | 1 ]
其中，R是旋转矩阵（旋转θ，注意：这里R是点旋转θ的矩阵，但坐标系旋转θ相当于点旋转-θ，所以R应该是旋转-θ的矩阵？），t是平移向量。
但这里我们直接使用上面的步骤。
三维情况：
三维旋转比较复杂，需要旋转轴或者旋转矩阵（欧拉角、四元数等）。用户引用2、3、4都是三维的。但用户问题没有明确，我们先给出二维的解决方案。
下面我们写一个C++函数，用于二维情况。
函数原型：
void transformPoint2D(double x_w, double y_w, double Tx, double Ty, double theta_degrees, double& x_new, double& y_new);
参数说明：
x_w, y_w: 点在世界坐标系（原坐标系）中的坐标
Tx, Ty: 平移向量
theta_degrees: 旋转角度（度），逆时针为正
x_new, y_new: 输出，点在新坐标系中的坐标
步骤：
1. 将角度转换为弧度：theta_rad = theta_degrees * M_PI / 180.0
2. 计算平移后的坐标：x1 = x_w - Tx, y1 = y_w - Ty
3. 计算旋转后的坐标：
x_new = x1 * cos(theta_rad) + y1 * sin(theta_rad)
y_new = -x1 * sin(theta_rad) + y1 * cos(theta_rad)
注意：这个公式基于坐标系先平移(Tx, Ty)再旋转theta_degrees（逆时针）得到新坐标系。
但是，如果用户要求的变换顺序不同（比如先旋转后平移），则需要调整。根据用户问题，我们按照先平移后旋转。
下面我们写一个完整的C++示例。
注意：如果用户需要三维，请参考使用Eigen库（如引用4），但这里我们只实现二维。
示例代码：
*/
#include <iostream>
#include <cmath>
// 定义转换函数
void transformPoint2D(double x_w, double y_w, double Tx, double Ty, double theta_degrees, double& x_new, double& y_new) {
// 将角度转换为弧度
double theta_rad = theta_degrees * M_PI / 180.0;
// 平移
double x1 = x_w - Tx;
double y1 = y_w - Ty;
// 旋转（注意：旋转矩阵是旋转-θ，因为坐标系旋转了θ，点相对于坐标系旋转-θ）
x_new = x1 * cos(theta_rad) + y1 * sin(theta_rad);
y_new = -x1 * sin(theta_rad) + y1 * cos(theta_rad);
}
int main() {
double x_w = 1.0;
double y_w = 0.0;
double Tx = 1.0;
double Ty = 0.0;
double theta = 90.0; // 逆时针90度
double x_new, y_new;
transformPoint2D(x_w, y_w, Tx, Ty, theta, x_new, y_new);
std::cout << "原坐标: (" << x_w << ", " << y_w << ")" << std::endl;
std::cout << "平移向量: (" << Tx << ", " << Ty << ")" << std::endl;
std::cout << "旋转角度: " << theta << " 度" << std::endl;
std::cout << "新坐标系中的坐标: (" << x_new << ", " << y_new << ")" << std::endl;
return 0;
}
/*
运行示例：
原坐标(1,0)，平移向量(1,0)，旋转90度（逆时针）。
平移后：点变为(0,0)
旋转：注意，旋转-90度（因为坐标系逆时针旋转90度，相当于点顺时针旋转90度，即旋转-90度）。(0,0)旋转后还是(0,0)。所以在新坐标系中，该点坐标是(0,0)。
但是，我们也可以验证另一个点：比如(2,0)：
平移后：(2-1,0-0)=(1,0)
旋转：旋转-90度：(1*cos(-90)+0*sin(-90), -1*sin(-90)+0*cos(-90)) = (0,1) [因为cos(-90)=0, sin(-90)=-1，所以x'=1*0+0*(-1)=0, y'=-1*(-1)+0*0=1]
所以(2,0)在新坐标系中的坐标是(0,1)。
注意：我们这里计算的是点在新坐标系中的坐标，不是点在世界坐标系中变换后的位置。
如果用户想要的是点随着坐标系变换而在世界坐标系中移动后的新坐标，那么变换应该是：
先旋转（逆时针θ）再平移（Tx, Ty）。那么公式为：
x_world_new = x_w * cos(theta) - y_w * sin(theta) + Tx
y_world_new = x_w * sin(theta) + y_w * cos(theta) + Ty
但用户问题没有明确，我们按照坐标变换（求点在新坐标系中的坐标）来实现。
因此，我们提供的函数是计算点在新坐标系中的坐标。
如果用户需要三维变换，可以使用Eigen库，如引用4所示。这里我们给出三维的简要说明：
三维变换：通常需要旋转矩阵和平移向量。旋转矩阵可以由欧拉角、旋转向量或四元数生成。
例如，使用Eigen库实现三维坐标变换（点P在坐标系A中的坐标变换到坐标系B，其中坐标系A到坐标系B的变换为：旋转矩阵R，平移向量T）：
在坐标系B中的坐标 = R * (P - T) [如果T是坐标系A原点在坐标系B中的坐标，则这样计算？]
实际上，三维变换通常用4x4齐次变换矩阵：
T = [ R t ]
[ 0 1 ]
那么，点P在坐标系A中的齐次坐标P_a = [x, y, z, 1]^T，在坐标系B中的坐标P_b = T * P_a
但是，注意：变换矩阵T的定义（从A到B）是：P_b = T * P_a
如果已知坐标系A在坐标系B中的位置（即坐标系A的原点在坐标系B中的坐标为t，坐标系A的轴在坐标系B中的方向由R给出），则T就是上面的矩阵。
因此，在C++中使用Eigen库可以这样写：
#include <Eigen/Dense>
using namespace Eigen;
Vector3d transformPoint3D(const Vector3d& point_in_A, const Matrix3d& rotation_matrix, const Vector3d& translation_vector) {
// 注意：这里rotation_matrix和translation_vector是从坐标系A到坐标系B的变换
// 即：point_in_B = rotation_matrix * (point_in_A - translation_vector) ???
// 实际上，正确的变换是：point_in_B = rotation_matrix * point_in_A + translation_vector ??? 这取决于定义。
// 更常见的：如果变换是坐标系A到坐标系B，且变换包括：先旋转R，再平移t（在坐标系B中），那么点从A到B的变换为：
// point_in_B = R * point_in_A + t
// 但是，如果平移t是坐标系A的原点在坐标系B中的坐标，那么点从A到B的变换为：
// point_in_B = R * (point_in_A) + t [这里point_in_A是点在A中的坐标，t是A的原点在B中的坐标]
// 所以，我们使用：
return rotation_matrix * point_in_A + translation_vector;
}
但是，这个函数计算的是同一个点在坐标系B中的坐标（已知点在A中的坐标）。而用户要求的是坐标系平移和旋转后点的新坐标，这里新坐标系就是坐标系B，原坐标系就是坐标系A。
因此，三维情况：给定点在原坐标系（A）中的坐标，求在新坐标系（B）中的坐标，需要知道A到B的旋转矩阵R和平移向量t，然后使用：P_b = R * P_a + t 吗？
注意：这个公式实际上描述的是将点从坐标系A变换到坐标系B（两个坐标系都是世界坐标系下的表示）。但是，如果我们的变换是定义坐标系B是由坐标系A先平移t再旋转R得到的，那么点P在坐标系B中的坐标P_b与在坐标系A中的坐标P_a的关系应该是：
P_a = R * P_b + t => P_b = R^{-1} * (P_a - t)
所以，这里存在不同的定义。需要明确。
鉴于用户问题描述不够详细，我们主要提供二维的解决方案。
总结：我们提供了二维坐标变换的C++函数，用于计算点在新坐标系中的坐标（新坐标系由原坐标系先平移(Tx,Ty)再旋转θ角度得到）。
相关问题：
1. 如果变换顺序改变（先旋转后平移），代码需要如何调整？
2. 如何实现三维坐标变换？
3. 在三维变换中，如何根据欧拉角构造旋转矩阵？
4. 使用齐次坐标表示变换矩阵有什么好处？
我们根据问题生成相关的问题。
*/</think>在C++中计算坐标系平移和旋转后点的新坐标，需要明确变换顺序（通常先旋转后平移）并应用刚体变换原理。以下是分步实现方法：
### 1. 二维坐标变换
#### 数学原理
设点原坐标 $(x, y)$，平移向量 $(t_x, t_y)$，旋转角度 $\theta$（逆时针为正），新坐标 $(x', y')$ 计算公式：
$$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix} $$
#### C++实现代码
```cpp
#include <iostream>
#include <cmath>
// 角度转弧度
double deg2rad(double deg) {
return deg * M_PI / 180.0;
}
void transformPoint2D(double& x, double& y, double tx, double ty, double theta_deg) {
double theta = deg2rad(theta_deg);
double x_new = x * cos(theta) - y * sin(theta) + tx;
double y_new = x * sin(theta) + y * cos(theta) + ty;
x = x_new;
y = y_new;
}
int main() {
double x = 1.0, y = 0.0; // 原始坐标
double tx = 2.0, ty = 1.0; // 平移量
double theta = 90.0; // 旋转角度（度）
transformPoint2D(x, y, tx, ty, theta);
std::cout << "新坐标: (" << x << ", " << y << ")";
// 输出: (2.0, 2.0)
return 0;
}
```
### 2. 三维坐标变换（推荐使用Eigen库）
#### 数学原理
$$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \mathbf{R} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} + \mathbf{t} $$
其中 $\mathbf{R}$ 是旋转矩阵，$\mathbf{t}$ 是平移向量。
#### Eigen库实现
```cpp
#include <Eigen/Dense>
Eigen::Vector3d transformPoint3D(
const Eigen::Vector3d& point,
const Eigen::Matrix3d& rotation,
const Eigen::Vector3d& translation)
{
return rotation * point + translation;
}
// 示例：绕Z轴旋转90度后平移(1,2,3)
Eigen::Matrix3d R;
R << 0, -1, 0, // 绕Z轴旋转矩阵
1, 0, 0,
0, 0, 1;
Eigen::Vector3d t(1, 2, 3);
Eigen::Vector3d p(1, 0, 0);
Eigen::Vector3d p_new = transformPoint3D(p, R, t);
// 结果: (1, 3, 3)
```
### 关键说明
1. **变换顺序**：先旋转后平移（顺序颠倒会导致不同结果）[^3]
2. **旋转矩阵**：必须为正交矩阵（$ \mathbf{R}^T\mathbf{R} = \mathbf{I} $）
3. **性能优化**：对多个点变换时，预先计算变换矩阵
$$ \mathbf{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{R} & \mathbf{t} \\ \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{p}' = \mathbf{T} \mathbf{p} $$
### 常见问题解决方案
- **绕任意点旋转**：先平移至原点，旋转后再移回
```cpp
Eigen::Vector3d rotateAroundPoint(
const Eigen::Vector3d& point,
const Eigen::Vector3d& center,
const Eigen::Matrix3d& rotation)
{
return rotation * (point - center) + center;
}
```
- **坐标系间转换**：已知目标坐标系原点位置和轴向，用三点法计算变换矩阵[^2]
> 提示：三维变换推荐使用Eigen或OpenCV等库，避免手动实现矩阵运算错误[^4]。
本文深入探讨了坐标系旋转后点坐标的计算方法，以及如何确定坐标点旋转后的坐标位置，为理解和应用坐标变换提供了实用指南。
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