范德蒙德卷积
形似：
∑i=0k(ni)(mk−i)=(n+mk)
\sum_{i=0}^k\binom ni\binom m{k-i}=\binom {n+m}k
i=0∑k(in)(k−im)=(kn+m)
可以理解为在大小为 nnn 和 mmm 的两个堆中选择 kkk 个物品。
好像是）推论：
∑i=1n(ni)(ni−1)=(2nn−1)
\sum_{i=1}^n\binom ni\binom {n}{i-1}=\binom {2n}{n-1}
i=1∑n(in)(i−1n)=(n−12n)
证明：
设 k=n−1k=n-1k=n−1 ，则由第一个式子可得：
∑i=0n−1(ni)(nn−1−i)=(2nn−1)∑i=0n−1(ni)(nn−1−i)=∑i=0n−1(ni)(ni+1)=∑i=1n(ni)(ni−1)⇒∑i=1n(ni)(ni−1)=(2nn−1)
\sum_{i=0}^{n-1}\binom ni\binom n{n-1-i}=\binom {2n}{n-1}\\
\sum_{i=0}^{n-1}\binom ni\binom n{n-1-i}=\sum_{i=0}^{n-1}\binom ni\binom n{i+1}=\sum_{i=1}^{n}\binom ni\binom n{i-1}\\
\Rightarrow\sum_{i=1}^n\binom ni\binom {n}{i-1}=\binom {2n}{n-1}
i=0∑n−1(in)(n−1−in)=(n−12n)i=0∑n−1(in)(n−1−in)=i=0∑n−1(in)(i+1n)=i=1∑n(in)(i−1n)⇒i=1∑n(in)(i−1n)=(n−12n)
其他的推论：
∑i=0n(ni)2=∑i=0n(ni)(nn−i)=(2nn)∑i=0m(ni)(mi)=∑i=0m(ni)(mm−i)=(n+mm)
\sum_{i=0}^n\binom ni^2=\sum_{i=0}^n\binom ni\binom n{n-i}=\binom {2n}n\\\sum_{i=0}^m\binom ni\binom mi=\sum_{i=0}^m\binom ni\binom m{m-i}=\binom {n+m}m
i=0∑n(in)2=i=0∑n(in)(n−in)=(n2n)i=0∑m(in)(im)=i=0∑m(in)(m−im)=(mn+m)
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