范德蒙德卷积

范德蒙德卷积

形似:
∑i=0k(ni)(mk−i)=(n+mk) \sum_{i=0}^k\binom ni\binom m{k-i}=\binom {n+m}k i=0k(in)(kim)=(kn+m)
可以理解为在大小为 nnnmmm 的两个堆中选择 kkk 个物品。

好像是)推论:
∑i=1n(ni)(ni−1)=(2nn−1) \sum_{i=1}^n\binom ni\binom {n}{i-1}=\binom {2n}{n-1} i=1n(in)(i1n)=(n12n)
证明:

k=n−1k=n-1k=n1 ,则由第一个式子可得:
∑i=0n−1(ni)(nn−1−i)=(2nn−1)∑i=0n−1(ni)(nn−1−i)=∑i=0n−1(ni)(ni+1)=∑i=1n(ni)(ni−1)⇒∑i=1n(ni)(ni−1)=(2nn−1) \sum_{i=0}^{n-1}\binom ni\binom n{n-1-i}=\binom {2n}{n-1}\\ \sum_{i=0}^{n-1}\binom ni\binom n{n-1-i}=\sum_{i=0}^{n-1}\binom ni\binom n{i+1}=\sum_{i=1}^{n}\binom ni\binom n{i-1}\\ \Rightarrow\sum_{i=1}^n\binom ni\binom {n}{i-1}=\binom {2n}{n-1} i=0n1(in)(n1in)=(n12n)i=0n1(in)(n1in)=i=0n1(in)(i+1n)=i=1n(in)(i1n)i=1n(in)(i1n)=(n12n)

其他的推论:
∑i=0n(ni)2=∑i=0n(ni)(nn−i)=(2nn)∑i=0m(ni)(mi)=∑i=0m(ni)(mm−i)=(n+mm) \sum_{i=0}^n\binom ni^2=\sum_{i=0}^n\binom ni\binom n{n-i}=\binom {2n}n\\\sum_{i=0}^m\binom ni\binom mi=\sum_{i=0}^m\binom ni\binom m{m-i}=\binom {n+m}m i=0n(in)2=i=0n(in)(nin)=(n2n)i=0m(in)(im)=i=0m(in)(mim)=(mn+m)

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