Concave and Convex Function

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#函数 #math #Concave #Convex #machine-learning

本文详细介绍了凹函数与凸函数的概念及数学特性，并通过实例对比两者之间的区别。还讲解了如何求解凹凸函数的最大值与最小值。
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Concave and Convex Function

What is Concave Function?

Concave function is a function where the line segement between any two points of the function lies below or on the graph.[1]

Mathematically, as for concave function, the derivative of the left side of the max point is > 0, whereas the right side of the max point is < 0. There is one and only one value to make the derivative of the function equal to 0.

See the example below.

Concave function
Concave Function

What is Convex Function?

Oppose to concave function, convex function is a function where the line segement between any two points of the function lies above or on the graph.[2]

Mathematically, as for concave function, the derivative of the left side of the max point is < 0, whereas the right side of the max point is > 0. There is one and only one value to make the derivative of the function equal to 0.

See the example below.

Convex function
Convex Function

Neither Concave or Convex Function

As for other function which is neither concave or convex function, the number of the value to make the derivative of the function equal to 0 is multiple or none.

See the example below.

Neither
Neither

How to Find the Max/Min of Concave/Convex Function?

To find the max/min of concave/convex function, we need to make the value converge to the max/min.

So to converge the value, as for concave function, we should plus the derivative of the function, whereas we should substract the derivative of the function.

Let summary the attribute concave and convex function

ConcaveConvex
Concave function is a function where the line segement between any two points of the function lies below or on the graph.Oppose to concave function, convex function is a function where the line segement between any two points of the function lies above or on the graph.
Mathematically, as for concave function, the derivative of the left side of the max point is > 0, whereas the right side of the max point is < 0. There is one and only one value to make the derivative of the function equal to 0.Mathematically, as for concave function, the derivative of the left side of the max point is < 0, whereas the right side of the max point is > 0. There is one and only one value to make the derivative of the function equal to 0.
Plus the derivative of the functionSubstract the derivative of the function

See more detail below.

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Reference

[1] Concave function - Wikipedia

[2] Convex function - Wikipedia

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在数学中，凸函数（Convex Function）和凹函数（Concave Function）的命名源于其几何性质，而非单纯依赖视觉上的“凸起”或“凹陷”。为凸函数一直 不理解，因为形状是凹的；后面才发现有特定的解释。
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错误使用 cvx/pow_cvx Disciplined convex programming error: Illegal operation: pow_abs( {concave}, {2} )
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<think>首先，用户的问题是关于CVX工具箱中的错误："Illegal operation: concave power 2"。用户提到在CVX中使用pow_abs函数时出现了这个错误。用户的问题是关于解决CVX pow_abs error Illegal operation concave power 2。 我需要回顾系统级指令： - 所有行内数学表达式必须使用$...$格式。 - 独立公式使用$$...$$格式并单独成段。 - LaTeX语法正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识。 - 回答结构清晰，帮助用户逐步解决问题，保证真实可靠。 用户提供了两个引用，但它们是示例，并不是用户真正的需求。用户的问题是关于pow_abs函数的错误。 关键点是：用户说"我想解决CVX中使用pow_abs函数时出现的‘Illegal operation’错误"，并指定了"concave power 2"。这表明用户可能在使用pow_abs函数处理凹函数时遇到了问题，特别是在指数为2时。 在CVX中，pow_abs函数用于计算|x|^p，其中p是标量。CVX要求函数符合凸优化规则。pow_abs(x, p)是凸函数当且仅当p >= 1，并且当p < 1时，它可能是凹的或非凸的，这可能导致错误。 错误消息"concave power 2"似乎矛盾，因为|x|^2是凸函数（二次凸函数）。但pow_abs(x,2)应该没问题。用户可能误用了函数或上下文有问题。 常见的错误原因： - 如果p < 1，pow_abs(x,p)是凹的，CVX不允许在目标或约束中直接使用凹函数，除非在特定上下文中。 - 但用户指定了power 2，所以p=2，应该是凸的。 - 可能用户使用了pow_abs(x,2)在表达式中，但与其他函数组合导致问题。 - 或者x不是标量，而是向量或矩阵，但pow_abs应该处理元素级操作。 另一个可能性：用户可能误解了函数。pow_abs(x,p)用于|x|^p，但CVX有特定规则。 用户提到了"concave power 2"，但|x|^2是凸的。所以可能是个错误或误解。 在CVX文档中，pow_abs(x,p)要求p >= 1，并且对于p=2，它应该是允许的。 可能用户在使用pow_abs时，p被指定为小于1的数，但用户说"power 2"，所以p=2。 用户消息："CVX pow_abs error Illegal operation concave power 2" – 可能错误消息说"concave power"，但针对p=2？这很奇怪。 或许用户的意思是错误消息是"Illegal operation: concave"，并提到power 2。 在CVX中，常见错误是当函数不是凸的时使用它。 解决步骤： 1. 确认pow_abs的使用：pow_abs(x,p)计算|x|^p。 2. 对于p>=1，它是凸的；对于0<p<1，它是凹的。 3. 在凸优化中，目标函数必须是凸的，约束必须是凸的。 4. 如果用户使用pow_abs(x,2)，它应该是凸的，所以错误可能来自其他部分。 5. 可能用户在表达式中混合了凸和凹函数，导致非法操作。 6. 或者p不是常数，而是变量，但pow_abs要求p是实数常数。 常见错误例子：如果用户写y = pow_abs(x,2) - z，其中z是凸函数，那么{convex} - {convex}可能不是凸的，除非在特定条件下。 用户提供的引用中提到了类似错误："Illegal operation: {convex} - {convex}"和"exp({affine})"，这暗示了非法操作。 所以对于用户的问题，可能在使用pow_abs时，它被用在减号或其他操作中，导致表达式非凸。 解决方案： - 检查表达式是否符合凸优化规则。 - 确保所有操作允许在凸框架下。 - 对于|x|^2，在CVX中，可以直接写x^2如果x是标量，或者使用sum_square或类似函数。 - pow_abs(x,2)等价于x^2对于实x。 - 但CVX可能推荐使用square(x)或x^2直接。 在CVX中，对于标量x，x^2是凸的，可以直接使用。 pow_abs主要用于当p不是整数或处理绝对值。 但p=2时，pow_abs(x,2)应该没问题。 可能用户代码中有错误。 由于用户没有提供完整代码，我需要给出一般建议。 回答结构： - 逐步解释问题原因。 - 给出解决方案。 - 提供示例。 - 生成相关问题。 使用中文回答。 首先生成回答大纲： 1. **问题分析**：解释错误的原因，CVX要求凸性。 2. **常见原因**：讨论为什么pow_abs可能导致错误，特别是当p<1或表达式不凸时。 3. **解决方案**： - 确保p>=1。 - 检查表达式是否整体凸。 - 使用替代函数如square(x)或quad_form。 - 提供代码示例。 4. **示例**：展示正确和错误用法。 5. **相关问题**：生成几个相关问题。 用户指定了"concave power 2"，所以可能p=2，但错误说"concave"，这矛盾。所以或许用户误用了函数。 另一个可能性：用户可能使用了pow_p或其他函数。pow_p(x,p)用于x^p，但要求x非负。 但用户说pow_abs。 在CVX中，pow_abs(x,p) = |x|^p。 对于p=2，|x|^2是凸的。 所以错误可能来自上下文。 或许用户写了类似pow_abs(x,2) - y，其中y是凸函数，导致{convex} - {convex}，这可能是凹的或非凸。 例如，如果y是凸函数，那么| x |^2 - y 可能不是凸的。 在凸优化中，目标函数必须是凸的，所以如果用户最小化 |x|^2 - y，它可能不是凸的，除非y是凹的。 所以解决方案是重新表述问题。 回答内容：</think>### CVX中使用pow_abs函数出现"Illegal operation: concave power"错误的解决方案 在CVX工具箱中，`pow_abs(x, p)`函数用于计算元素级绝对值幂运算$|x|^p$。当出现“Illegal operation: concave power”错误时，通常是因为表达式违反了凸优化规则：CVX要求目标函数和约束条件必须是**凸函数**，而您的表达式可能因参数选择或上下文导致非凸或凹性。错误消息中的“concave power 2”表明问题可能涉及指数$p=2$的特定场景，但$|x|^2$本身是凸函数（二次凸函数），因此错误根源往往是函数组合或上下文不匹配。以下我将逐步解释原因并提供解决方案。 --- ### 问题原因分析 1. **CVX的凸性规则**： - CVX基于凸优化理论，要求目标函数为凸函数，不等式约束为凸集，等式约束为仿射函数[^1]。 - `pow_abs(x, p)`的凸性取决于$p$： - 当$p \geq 1$时，$|x|^p$是凸函数（例如$p=2$时$|x|^2$是凸的）。 - 当$0 < p < 1$时，$|x|^p$是凹函数，CVX禁止在目标或约束中直接使用凹函数。 - 错误“Illegal operation: concave”通常发生在： - 表达式混合了凸和凹函数（如`{convex} - {convex}`可能非凸）。 - 参数$p$未正确指定（如$p<1$），或变量$x$不是标量。 - 函数被用于非法组合（如与其他非凸操作结合）。 2. **您的错误场景分析**： - 您提到“concave power 2”，但$p=2$时$|x|^2$应为凸函数。矛盾可能源于： - 表达式整体不凸：例如`pow_abs(x,2) - y`，其中$y$是凸函数，导致`{convex} - {convex}`非法操作[^1]。 - 变量类型问题：`x`可能是向量或矩阵，而`pow_abs`要求元素级操作，但组合后可能破坏凸性。 - 参数误用：`p`可能被错误赋值为小于1的值（如变量而非常数），但您指定$p=2$，需检查代码中$p$是否确为常数2。 --- ### 解决方案步骤 以下是解决“Illegal operation: concave power”错误的实用方法。假设您的问题涉及最小化或约束一个包含`pow_abs`的表达式。 #### 步骤1: 检查参数p和表达式凸性 - **确保$p \geq 1$**：确认`pow_abs(x,p)`中的$p$是常数且$p \geq 1$。例如： - 正确：$p=2$（凸），错误：$p=0.5$（凹）。 - 在代码中，显式定义$p$为标量常数：`p = 2;`。 - **验证整体表达式凸性**： - 目标函数必须是凸函数：例如，`minimize(pow_abs(x,2))`是合法的。 - 约束必须定义凸集：例如`pow_abs(x,2) <= 1`是凸约束。 - 非法示例：`pow_abs(x,2) - norm(y,2) <= 0`（如果`y`是变量，`{convex} - {convex}`可能非凸）。 - 工具：使用CVX的`isconvex`函数测试表达式凸性（在`cvx_begin`前）。 #### 步骤2: 使用替代函数避免非法操作 如果`pow_abs`导致问题，改用CVX内置的凸函数替代： - **对于$|x|^2$（$p=2$）**： - 优先用`square(x)`或`x^2`（更高效且直接处理凸性）。 - 向量/矩阵场景：用`sum_square(x)`或`quad_form(x,Q)`（二次型）。 - **对于一般$|x|^p$（$p>1$）**： - 如果$p$不是整数，保留`pow_abs(x,p)`但确保$p \geq 1$。 - 避免混合操作：如减法中，确保被减项是凹函数（例如线性项）。 - **重构表达式**： - 非法操作示例：`minimize(pow_abs(x,2) - log(y))`（`log(y)`是凹函数，导致整体可能非凸）。 - 解决方案：重写为凸形式，例如添加辅助变量或使用不等式约束。 #### 步骤3: 代码示例 以下示例展示正确和错误用法，基于常见场景（假设变量定义在`cvx_begin`和`cvx_end`之间）。 **错误代码示例**：表达式不凸导致“concave”错误。 ```matlab cvx_begin variable x(2) minimize( pow_abs(x(1), 2) - pow_abs(x(2), 2) ) % 非法：{convex} - {convex} 可能非凸 cvx_end % 错误消息：Disciplined convex programming error: Illegal operation: {convex} - {convex} ``` **正确代码示例**：使用替代函数确保凸性。 ```matlab cvx_begin variable x(2) minimize( sum_square(x) ) % 正确：等价于 |x(1)|^2 + |x(2)|^2，凸函数 subject to pow_abs(x(1), 2) <= 10; % 正确：p=2 是凸约束 cvx_end ``` - **说明**： - `sum_square(x)`直接计算$\sum x_i^2$，避免元素级操作问题。 - 约束中`pow_abs(x(1),2)`合法因为$p=2$且单独使用。 #### 步骤4: 调试技巧 - **检查变量作用域**：避免变量名冲突，使用`clear`或重启MATLAB解决“non-empty cvx problem”警告[^1]。 - **简化问题**：先测试最小可行代码（如仅目标函数），逐步添加约束。 - 文档参考：查阅CVX用户指南的“Function Reference”部分，确认函数凸性规则。 --- ### 相关问题 如果您解决了当前错误，以下是进一步学习的相关问题： 1. 如何在CVX中处理非凸函数的近似或重构？ 2. CVX中`pow_p`和`pow_abs`函数的区别是什么？ 3. 如何验证一个优化问题在CVX中的凸性？ 通过以上步骤，您应能解决`pow_abs`错误。如果问题仍存在，请提供代码片段以便更精准分析[^1]。
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