连续时间傅里叶变换（CTFT）

转载于：https://blog.youkuaiyun.com/reborn_lee/article/details/81121976

目录

前言

非周期信号傅里叶变换表示的导出

非周期信号的傅里叶变换与周期信号的傅里叶级数系数之间的关系

---

前言

前面我们讲了，周期信号作为复指数信号线性组合的表示，即连续周期信号的傅里叶级数表示与离散周期信号的傅里叶表示，同时我们也知道了这一表示是如何用来描述线性时不变系统对这些信号的作用效果的，即傅里叶级数与线性时不变系统。

上面讨论的都是周期信号，它们都是能量无限信号，这些信号的讨论基本上告一段落了，下面以及以后我们将讨论非周期信号，讨论的逻辑基于非周期信号可以看成周期无限大的周期信号，很多的知识点都是根据这个思路来推理的，所以可以说接下来的内容是上面内容的推广。

事实上，相当广泛的一类信号，其中包括全部能量有限的信号，也能够经由复指数信号的线性组合来表示。

对于周期信号而言，这些复指数基本信号构造单元全是成谐波关系的；

而对于非周期信号，它们是在频率上无限小的靠近。

为什么这么说呢？也就是为什么说非周期信号经复指数信号的线性组合，其在频率上无限小的靠近？

傅里叶曾认为：一个非周期信号能够看成周期无限长的周期信号这一点。

更确切地说，在一个周期信号的傅里叶级数表示中，当周期增加时，基波频率就减小，成谐波关系的各分量在频率上愈加靠近。

当周期变成无限大时，这些频率分量就形成了一个连续域，从而傅里叶级数求和也就变成了积分。

既然对于非周期信号的复指数信号的线性组合是一个积分，在这种表示中所得到的系数谱称为傅里叶变换；而利用这些系数将信号表示为复指数信号线性组合的综合积分式本身称为傅里叶逆变换。

好了，就当是傅里叶变换的引入吧，下面正式进入傅里叶变换的世界。

非周期信号傅里叶变换表示的导出

以这篇博文：周期方波的傅里叶级数系数，研究的对象——连续周期方波信号的傅里叶级数表示入手。

从该图可以看到，随着T增加，也就意味着基波频率$w_0$减小，该包络就被以愈来愈密集的间隔采样。随着T变成任意大，原来的周期方波就趋近于一个矩形脉冲（也就是说，在时域保留的是一个非周期信号，它对应于原周期方波的一个周期）。与此同时，傅里叶级数系数（乘以T后）作为包络上的样本也变得愈来愈密集，这样从某种意义上说，随着$T\to \infty$,傅里叶级数系数就趋近于这个包络函数。

事实上，这个就是后来的傅里叶变换的分析公式！）

一个非周期信号$x(t)$的变换$X(jw)$称为$x(t)$的频谱。因为$X(jw)$告诉我们将$x(t)$表示为不同频率复指数信号的线性组合（积分）所需的信息。

非周期信号的傅里叶变换与周期信号的傅里叶级数系数之间的关系

上式表明，$\widetilde{x(t)}$的傅里叶系数正比于一个周期内的$\widetilde{x(t)}$信号傅里叶变换的等间隔样本。

总结可知，周期信号频谱对应非周期信号频谱的样本；非周期信号频谱对应周期信号频谱的包络。