离散时间复指数序列的周期性质

最新推荐文章于 2024-02-20 22:44:38 发布

SuperMrRock

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文章标签：信号处理人工智能

原文链接：https://blog.youkuaiyun.com/reborn_lee/article/details/81105196

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本文探讨了离散时间复指数序列的性质，包括其振荡速率的变化规律及周期性条件，并分析了基波周期和基波频率的概念。

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转载于：https://blog.youkuaiyun.com/reborn_lee/article/details/81105196

序言

写这篇博文的目的有两个：

其一是为了下一篇博文：离散周期序列的傅里叶级数做准备，以及以后的信号处理学习打下基础。

其二就是单纯地去学习这一个重要的信号，它和连续时间复指数信号在数字信号处理的地位不可轻视！

连续时间复指数信号

采样对比的方式来研究这个信号，连续时间复指数信号 $e^{jw_{0}t}$ 具有以下两个性质：

1. $w_{0}$ 愈大，信号振荡的速率就愈高;

2. $e^{jw_{0}t}$ 对任何 $w_{0}$ 都是周期的。

下面也就这两个方面来考察离散时间复指数序列 $e^{jw_{0}n}$ ；

离散时间复指数序列的性质考察

考察离散时间复指数序列是否满足第一条性质

研究频率为 $w_{0}+2k\pi,k=0,\pm 1,\pm2,...$ 的离散时间复指数序列：
$e^{j(w_{0}+2k\pi)n}=e^{jw_{0}n}e^{j2k\pi n}=e^{jw_{0}n}$

可见，在离散时间情况下，具有频率为 $w_{0}$ 的复指数信号与 $w_{0}\pm2\pi, w_{0}\pm4\pi,...$ 这些频率的复指数信号是一样的。对比连续信号， $t$ 取值不一定为整数，所以对应
$e^{j(w_0+2k\pi)t}=e^{jw_0t}e^{j2k\pi t}\ne e^{jw_0t}$

因此：

考虑这种离散时间复指数信号时，仅仅需要在某一个 $2\pi$ 间隔内选择 $w_0$ 即可。这也是为什么离散信号的频谱是周期的原因，就是因为当用频域中用 $w$ 作单位时，其对应的幅值函数是周期函数，进而推出时域与频域只是自变量是 $n$ 还是 $w$ ( $w=kw_0$ )。

由研究第一条性质得到的规律

从上面的式子
$e^{j(w_{0}+2k\pi)n}=e^{jw_{0}n}e^{j2k\pi n}=e^{jw_{0}n}$

我们知道，离散时间复指数信号 $e^{jw_{0}n}$ 就不具有随 $w_{0}$ 在数值上的增加而不断增加其振荡速率的特性，那它有什么样的规律呢？

看下面这幅图：

从上图我们可以看出如下信息：

随着 $w_{0}$ 从0开始增加，其振荡速率(正负幅值变动的速率)越来越快，直到 $w_{0}=\pi$ 为止，然后继续增加 $w_{0}$ ，其振荡速率就会下降，直到 $w_{0}=2\pi$ 为止，这时又得到和 $w_{0}=0$ 同样的结果（常数序列）。因此，总结如下规律：

1.离散时间复指数的低频部分（也就是慢变化）位于 $w_{0}$ 在0， $2\pi$ 和任何其他 $\pi$ 的偶数倍附近；

2.而高频部分（也就是快变化），则位于 $\pi$ 的奇数倍值附近。

特别注意的是，在 $w_{0}=\pi$ 及其他任何 $\pi$ 的奇数倍处，有：

$e^{j\pi n}=(e^{j\pi})^{n}=(-1)^{n}$

以至信号在每一点上都改变符号，产生激烈振荡！