数据结构与算法分析(四)：递归

本系列为《Python数据结构与算法分析》第二版学习笔记，作者：布拉德利.米勒；戴维.拉努姆。

递归是解决问题的一种方法，它将问题不断地分成更小的问题，直到子问题可以用普通的方法解决。通常情况下，递归会使用一个不停调用自己的函数。

一、递归三原则

（1）递归算法必须有基本情况；
（2）递归算法必须改变其状态并向基本情况靠近；
（3）递归算法必须递归的调用自己。

基本情况是指使算法停止递归的条件，这通常是小到足以直接解决的问题。为了遵守第二条原则，必须设法改变算法的状态，从而使其向基本情况靠近。改变状态是指修改算法所用的某些数据，这通常意味着代表问题的数据以某种方式变得更小。最后一条原则是递归算法必须对自身进行调用，这正是递归的定以。递归的逻辑并不是循环，而是将问题分解成更小、更容易解决的子问题。

二、用递归计算一列数之和

假设需要计算数字列表[1, 3, 5, 7, 9]的和，一般用循环求和可以解决。

def listsum(numList):
	theSum = 0
	for i in numList:
		theSum += i
	return theSum

如何利用递归解决这个问题，数字列表numList的总和等于列表中的第一个元素（numList[0]）加上其余元素（numList[1:]）之和，可以用函数的形式来表述这个定以：
listSum(numList) = first(numList) + listSum(rest(numList))
first(numList)返回列表中的第一个元素，rest(numList)则返回其余元素，代码实现如下：

def listsum(numList):
	if len(numList) == 1:
		return numList[0]
	else:
		return numList[0] + listsum(numList[1:])

这里，第2行检查列表是否只包含一个元素，这个检查很重要，同时也是该函数的退出语句，满足原则1。对于长度为1的列表，其元素之和就是列表中的数。其次，listsum函数在第5行调用了自己，这就是将listsum称为递归函数的原因。

三、将整数转换为任意进制的字符串

前面我们用while循环解决过这个问题，这里我们用递归来处理。
以十进制整数769为例，假设有一个字符序列对应前10个数，比如convString = “0123456789”。若将一个小于10的数字转换成其对应的字符串，只需在字符序列中查找对应的数字即可。上述算法情况说明，整个算法包含三个组成部分：
（1）将原来的整数分成一系列仅有单数位的数；
（2）通过查表将单数位的数转换成字符串；
（3）连接得到的字符串，从而形成结果。

rStack = Stack()

def toStr(n, base):
	convertString = "0123456789ABCDEF"
	if n < base:
		rStack.push(convertString[n])
	else:
		rStack.push(convertString[n % base])
		toStr(n // base, base)

四、用递归画谢尔平斯基三角形

手动绘制谢尔平斯基三角形过程如下：从一个大三角形开始，通过连接每条边的中点将它分割成四个新的三角形；然后忽略中间的三角形，利用同样的方法分隔其余三个三角形。

代码如下：

class SierPinski():
    def __init__(self):
        pass

    def drawTriangle(self, points, color, myTurtle):
        myTurtle.fillcolor(color)
        myTurtle.up()
        myTurtle.goto(points[0])
        myTurtle.down()
        myTurtle.begin_fill()
        myTurtle.goto(points[1])
        myTurtle.goto(points[2])
        myTurtle.goto(points[0])
        myTurtle.end_fill()

    def getMid(self, p1, p2):
        return ((p1[0] + p2[0]) / 2, (p1[1] + p2[1]) / 2)

    def sierpinski(self, points, degree, myTurtle):
        colormap = ['blue', 'red', 'green', 'white', 'yellow', 'violet', 'orange']
        self.drawTriangle(points, colormap[degree], myTurtle)
        if degree > 0:
            self.sierpinski([points[0],
                             self.getMid(points[0], points[1]),
                             self.getMid(points[0], points[2])],
                            degree-1, myTurtle)
            self.sierpinski([points[1],
                             self.getMid(points[0], points[1]),
                             self.getMid(points[1], points[2])],
                            degree - 1, myTurtle)
            self.sierpinski([points[2],
                             self.getMid(points[2], points[1]),
                             self.getMid(points[0], points[2])],
                            degree - 1, myTurtle)

if __name__ == '__main__':
    SierPinski = SierPinski()
    myTurtle = Turtle()
    myWin = myTurtle.getscreen()
    myPoints = [(-500, -250), (0, 400), (500, -250)]
    SierPinski.sierpinski(myPoints, 4, myTurtle)
    myWin.exitonclick()