二叉树BinaryTreeList

最新推荐文章于 2023-08-27 19:44:15 发布

Mr. 阿紫

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分类专栏：算法实现文章标签： java 数据结构

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/jainszhang/article/details/121637299

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简介：本文介绍二叉树基本概念，并通过继承java集合List接口，java实现BinaryTreeList操作算法：插入、删除、前中后层次遍历、二叉树深度、最大小宽度等。

一、二叉树基本概念

1.二叉树是什么？

二叉树是树的一种，是一种节点的度不大于2的有序树。

2.为什么会出现二叉树？或者说二叉树为了解决什么问题而出现的？

为了解决链表中查找、插入最坏为O(n)的情况，数组中删除最坏移动元素O(n)的情况。

例如:数据库需要多次查找、更新操作，此时使用数组、链表这种数据结构会很慢。而二叉树则可以达到O(lgn)情况。

3.二叉树有哪些性质？

性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 $2^{i-1}$ (i≥1)。
性质2：深度为k的二叉树至多有 $2^k-1$ 个结点(k≥1)。
性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为 $log_2(n+1)$ 。
性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为 $n_0$ ，度为2的结点数为 $n_2$ ，则 $n_0=n_2+1$ 。

4.二叉树节点如何定义？

属性：父节点（可选）、左孩子、右孩子、值

二、二叉树操作算法介绍

1.添加元素

思路：根据二叉树特性，找到待插入元素合适位置，插入即可。

2.遍历

前序：根左右。思路：辅助栈，访问节点打印并入栈，出栈再访问右节点。

中序：左根右。思路：辅助栈，访问到最左节点，出栈打印，再访问右节点。

后序：左右根。思路：辅助栈，访问到最左节点，出栈，当节点左右为空，或者是第二次访问时打印，否则继续入栈，访问右节点。

层次：一层一层。辅助队列，节点出队打印，节点左右节点分别入队列。

3.删除元素

思路：找到待删除的节点，然后：

1）叶子节点直接删除

2）含有左或右子树，将其子树作为其父节点的左/右子树

3）包含左、右子树，找到右子树最左节点（或左子树最右节点）y替换待删除节点。

如果是待删除节点右节点，直接替换。
如果不是待删除节点右节点，需要y.right替换y，然后y替换待删除节点

4.二叉树高度（深度）

思路：借助层次遍历思想。辅助队列，入队一层后根据队列当前大小全部出队代表一层节点全部出完，每层代表深度+1。

5.二叉树最大宽度（最小宽度）

思路：借助层次遍历思想。辅助队列，每层包含元素最大、最小值。

6.查找元素

思路：根据二叉树特性，直接寻找该值。

7.遍历转换

中序、后续转前序

三、二叉树操作算法java实现

1.实现思路

参照java集合ArrayList实现一个BinaryTreeList，并增加二叉树特有算法。

2.为什么要通过实现BinaryTreeList来实现二叉树操作算法？

1）二叉树仅是一种数据结构，只有和算法结合并封装后才能实际使用。

2）参照java集合实现一个可用的BinaryTreeList，能够学习到java集合原码中的编程、算法实现风格。

3.BinaryTreeList类如何布局？

除了普通的二叉树外，还存在进阶版的平衡二叉树。因此，将二叉树需要独立操作如添加、删除等方法在BinaryTreeList类中实现；将是否为空、是否包含某个元素等和平衡二叉树公有方法放到AbstractTreeList中。

四、AbstractTreeList类java实现

1.定义Node节点类

static class Node<E> {
        E value;
        Node<E> parent;
        Node<E> leftChild;
        Node<E> rightChild;
        Node(Node<E>parent,Node<E> left,Node<E> right,E value){
            this.parent = parent;
            this.leftChild = left;
            this.rightChild = right;
            this.value = value;
        }
        Node(Node<E> left,Node<E> right,E value){
            this(null,left,right,value);
        }
        Node(){}
    }

2.为什么Node节点类作为内部静态类存放于AbstractTreeList抽象类中？

静态内部类和一般内部类都可以存在于抽象类中。两者区别在于：

一般内部类对象中包含一个外部类对象的this指针的引用用于访问外部类对象，这容易导致内存泄漏。
静态内部类对象不存在外部类对象的this指针，不易内存泄露。

3.AbstractTreeList抽象类结构和属性

import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.Stack;
import java.util.Queue;


public abstract class AbstractTreeList<E> implements List<E>{
	int size = 0;//表示TreeList元素个数
	Node<E> root;//表示根节点

    static class Node<E> {//节点静态类
		E value;
		Node<E> parent;
		Node<E> leftChild;
		Node<E> rightChild;
		Node(Node<E>parent,Node<E> left,Node<E> right,E value){
			this(parent,left,right,value,0);
		}
		Node(Node<E> left,Node<E> right,E value){
			this(null,left,right,value);
		}
		Node(){}
    }

//各种实现的方法	...
}

4.二叉树遍历算法实现

先序遍历：根左右。辅助栈，入栈前打印，遍历到最左节点，出栈后遍历其右子树。

	/**
	 * 先序遍历：根左右。辅助栈，入栈前打印，遍历到最左节点，出栈后遍历其右子树
	 * @return
	 */
	public List<E> asListPre() {
		Node<E> r;
		ArrayList<E> resultList = new ArrayList<E>();
		if((r=root) == null) return resultList;
		LinkedList<Node<E>> stack = new LinkedList<Node<E>>();
		while(r!=null || !stack.isEmpty()) {
			while (r!=null) {
				resultList.add(r.value);
				stack.push(r);
				r = r.leftChild;
			}
			r = stack.pop();
			r = r.rightChild;
		}
		return resultList;
	}

中序遍历：左根右。辅助栈，遍历到最左节点全部入栈，出栈打印并入右子树。

/**
	 * 先序：左根右。辅助栈，根全部入栈，出栈打印。
	 * @return
	 */
	public List<E> asListOrder() {
		Node<E> r;
		ArrayList<E> resultList = new ArrayList<E>();
		if((r=root) == null) return resultList;
		LinkedList<Node<E>> stack = new LinkedList<Node<E>>();
		while(r!=null || !stack.isEmpty()) {
			while (r!=null) {
				stack.push(r);
				r = r.leftChild;
			}
			r = stack.pop();
			resultList.add(r.value);
			r = r.rightChild;
		}
		return resultList;
	}

后续遍历:左右根。辅助栈，遍历到最左节点全部入栈，出栈栈顶节点左右孩子为空、且是第二次遍历时打印，否则再次入栈。

/**
	 * 后续遍历:左右根。辅助栈，遍历到最左节点全部入栈，出栈栈顶节点左右孩子为空、且是第二次遍历时打印，否则再次入栈。
	 * @return
	 */
	public List<E> asListLast() {
		Node<E> cur,pre = null;
		ArrayList<E> resultList = new ArrayList<E>();
		if((cur =root) == null) return resultList;
		
		LinkedList<Node<E>> stack = new LinkedList<Node<E>>();
		while(cur!=null || !stack.isEmpty()) {
			while (cur!=null) {
				stack.push(cur);
				cur = cur.leftChild;
			}
			cur = stack.pop();
			if(cur.rightChild == null || cur.rightChild==pre) {//当前cur节点是叶子节点；当前cur.right节点是上次访问的节点
				resultList.add(cur.value);
				pre = cur;
				cur = null;//已经访问了cur的左子节点，不需要再次访问
			}else {
				stack.push(cur);
				cur = cur.rightChild;
			}
		}
		return resultList;
	}

层次遍历：辅助队列，将所有节点入队，出对后将节点左、右子树入队，直到队空

	/**
	 * 层次遍历：辅助队列，将所有节点入队，出对后将节点左、右子树入队，直到队空
	 * @return
	 */
	public List<E> asListLevel() {
		Node<E> r;
		ArrayList<E> resultList = new ArrayList<E>();
		if((r =root) == null) return resultList;
		Queue<Node<E>> queue = new  LinkedList<Node<E>>();
		queue.offer(r);
		while(!queue.isEmpty()) {
			r = queue.poll();
			resultList.add(r.value);
			if(r.leftChild != null) queue.offer(r.leftChild);
			if(r.rightChild != null) queue.offer(r.rightChild);
		}
		return resultList;
	}

5.二叉树最大、最小宽度，最大深度

最大深度：借助层次遍历思想，每次遍历一层所有值(个数使用queue.size计算)，出队节点左右子树入队，一层出完deep++。

/**
	 * 二叉树最大深度。思路：层次遍历，每次遍历一层所有值(个数使用queue.size计算)，然后deep++
	 * @return
	 */
	public int maxDeep() {
		return maxDeep(root);
	}
	public int maxDeep(Node<E> r) {
		if(r == null) return 0;
		int deep = 0;
		Queue<Node<E>> queue = new  LinkedList<Node<E>>();
		queue.offer(r);
		while(!queue.isEmpty()) {
			deep++;
			int queueSize = queue.size();
			while(queueSize > 0) {
				queueSize--;
				r = queue.poll();
				if(r.leftChild != null) queue.offer(r.leftChild);
				if(r.rightChild != null) queue.offer(r.rightChild);
			}
		}
		return deep;
	}

最大、最小宽度：和最大深度思想一致。

	public int maxWidth() {
		Node<E> r;
		if((r = root) == null) return 0;
		int width = 0;
		Queue<Node<E>> queue = new  LinkedList<Node<E>>();
		queue.offer(r);
		while(!queue.isEmpty()) {
			int queueSize = queue.size();
			width = (queueSize > width) ? queueSize : width;
            //width = (queueSize < width) ? queueSize : width;//最小宽度用此替换
			while(queueSize > 0) {
				queueSize--;
				r = queue.poll();//出队列同时，将下一层节点入队列
				if(r.leftChild != null) queue.offer(r.leftChild);
				if(r.rightChild != null) queue.offer(r.rightChild);
			}
		}
		return width;
	}

6.查找等其他操作算法

    @Override
	public boolean contains(Object o) {
		if(o == null) throw new NullPointerException("输入元素为空");
		Node<E> r;
		if((r = root) == null) return false;
		while (r != null) {
			if(compare((E) o, r.value) < 0) r = r.leftChild;
			else if(compare((E) o, r.value) > 0) r = r.rightChild;
			else return true;
		}
		return false;
	}  
    @Override
	public boolean isEmpty() {
		return (size == 0)?true:false;
	}
	@Override
	public int size() {
		return (root == null) ? 0 : size;
	}
    int compare(E e1, E e2) {
        return ((Comparable<E>) e1).compareTo(e2);
    }

五、BinaryTreeList类java实现

BinaryTreeList类主要实现二叉树的插入、删除操作。

1.BinaryTreeList类结构

public class BinaryTreeList<E> extends AbstractTreeList<E> implements List<E>{
	public BinaryTreeList(){
		super();
	}
//其他方法...

}

2.二叉树插入操作

思路：根据插入值e的大小，找到树中合适的插入位置，然后插入，设置size++。

    @Override
	public boolean add(E e) {
		addVal(e);
		return true;
	}
	void addVal(E e) {
		if (e == null) throw new NullPointerException();
		Node<E> r = root;
		if(r == null) root = new Node<E>(null,null, null, e);
		else if(contains(e)) return ;
		else {
			//根据r和e找到null节点，就是待插入的节点.需要保留该null节点的父节点
			Node<E> parent = root;
			while(r != null) {
				parent = r;
				if(compare(e, r.value)<0) r = r.leftChild;
				else if(compare(e, r.value) > 0) r = r.rightChild;
			}
			Node<E> ele = new Node<E>(parent,null, null, e);
			if (compare(e,parent.value) < 0) parent.leftChild = ele;
			else if(compare(e,parent.value) > 0)parent.rightChild = ele;
			else return;
		}
		size++;
	}

3.二叉树删除操作

思路：先根据删除元素e先找到对应节点z，判断待删除节点结构。

1）叶子节点：直接删除。

2）只有一个孩子的节点：用其子树替换待删除节点。

3）有两个孩子的节点：寻找z的后继节点y，让y占据z的位置。z原来的左、右子树分别称为y的左右子树。其中y一定没有左孩子。

y是z的右孩子，直接用y替换z，并拼接上z的左孩子到y。
y不是z的右孩子，先用y的右孩子替换y，再用y替换z。


	/**
	 * 先找到节点。根据节点结构，做不同操作。
	 */
	@Override
	public boolean remove(Object o) {
		if(o == null) throw new NullPointerException("删除元素为null");
		return removeVal(o);
    }
    boolean removeVal(Object o) {
		//删除值o，需要先寻找到o所在的节点z，然后判断z是叶子节点、只有一个孩子的节点、两个孩子节点
		Node<E> z=root;
		if(z== null) return false;
		while(z!=null) {
			if(compare((E)o, z.value) < 0) z = z.leftChild;
			else if(compare((E)o, z.value) > 0) z = z.rightChild;
			else {//找到了
				if(z.leftChild == null) transplant(z, z.rightChild);
				else if(z.rightChild == null) transplant(z, z.leftChild);
				else {
					Node<E>y = z.rightChild;
					while(y.leftChild!=null) y = y.leftChild;
					if(y != z.rightChild) {
						transplant(y, y.rightChild);//替换y和y右孩子父节点
						//拼接y节点右孩子
						y.rightChild = z.rightChild;
						z.rightChild.parent = y;
					}
					//y替换z，设置了y和z.parent的关系
					transplant(z, y);
					//拼接y节点的左孩子
					y.leftChild = z.leftChild;
					y.leftChild.parent = y;
				}
				return true;
			}
		}
		return false;
	}
	/**
	 * 用newNode为根的子树移植到oldNode为根的子树。注意oldNode的左孩子，右孩子并没有拼接到newNode
	 * @param oldNode 待替换子树节点根
	 * @param newNode 替换oldNode子树新子树的根
	 */
	void transplant(Node<E>oldNode,Node<E>newNode) {
		if (oldNode.parent == null) root = newNode;
		else if(oldNode == oldNode.parent.leftChild) oldNode.parent.leftChild = newNode;
		else oldNode.parent.rightChild = newNode;
		if(newNode != null) newNode.parent = oldNode.parent;
	}