【剑指offer题解】leetcode 16 快速幂

最新推荐文章于 2024-03-20 16:39:47 发布

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本文深入讲解了快速幂算法，一种高效计算整数次幂的方法。通过将指数转换为二进制，利用位运算实现O(logn)的时间复杂度，显著提高了大指数幂运算的效率。文章提供了详细的算法步骤及Python代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

16. 数值的整数次方（快速幂）

在这里插入图片描述
思路一：不使用库函数pow的话，可以直接写一个循环做即可，时间复杂度为O(n)，有可能超时；

思路二：快速幂方法，例如求3的10次方，即 $3^{10}$ 。首先由于指数是整型，可以将其转化为二进制的形式，即 $3^{(1010)_{2}}$ ，这个式子可以进一步转化为 $1*3^{8})*(0*3^{4})*(1*3^{2})*(0*3^{1})$ ，前面的系数（0或1）对应二进制的每一位，例如上述中10的二进制为 $1010)_{2}$ ，所以第1位对应1，第2位对应0，第3位对应1，第4位对应0。而对于后面的3的k次方项，最后一位对应底数3，每向左一位都是后面一位的平方。

快速幂由于涉及到将指数进行移位，所以其时间复杂度为O(log n)

因此快速幂求 $a^{b}$ 的算法如下：

（1）初始化 res=1，保存计算结果；

（2）判断指数 b 的二进制最低位是否为1，如果为1，则令 res = res * a；

（3）让 a *= a，同时 b右移一位；

（4）不断循环2和3的过程，直到 b 不再大于0

注意：如果 b 是个负数，那么先取他的绝对值，并保存一个负数标志；按照正数的方法进行计算，最后取倒数即可。

代码：（快速幂模板）

class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
        res = 1.
        isNeg = False
        if n < 0:
            n = -n
            isNeg = True       
        while n:
        	#判断指数二进制形式的最低位是否为1
            if n & 1 == 1:
                res *= x
            #指数二进制形式右移一位
            n >>= 1
            #每右移一位x应当扩大到他的平方
            x *= x     
        if isNeg:
            return 1/res
        return res