【剑指offer题解】leetcode 14，15_剑指leetcode14-优快云博客

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本文深入探讨了剪绳子问题的两种解决思路，包括动态规划和直接循环法，详细解析了如何通过拆分为2和3来最大化乘积，并提供了完整的Python代码示例。同时，针对取模运算后的剪绳子问题提出了改进方案。

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14. 剪绳子 I

在这里插入图片描述
思路：这个题一开始感觉是dp，但是找不准状态转移方程。看了大神的题解以后才发现这个题有一定的数学推导成分。首先当 x=2 时，只能对应1 * 1；当x=3时，显然 1 * 2 要大于 1 * 1 * 1，这两种情况很容易理解。

有趣的是我们可以得到一个不等式 3*(x-3)>x，当且仅当 x $≥\ge$ 5 时成立，这说明 x $≥\ge$ 5 时，将 x 拆出一个一个的3，得到的乘积是最大的；而在 x=4 时，将x拆成 2 * 2 显然比 1 * 3 要大，x=3 或 x=2 时显然不用再拆分，因为拆出来的乘积比 x 本身还要小。所以要把大于等于4的数，拆分成若干个2和3，3的数量能多则多，其实想一想就会发现2的数量不超过两个。

上面是大神的解释，这里我有一点想法：其实不用太在乎那个不等式怎么得到的，从小到大，每个数必须要拆开，2和3拆开发现得到的最大乘积要比他自身小，然而从4开始，就会出现和他相等甚至比他大的拆分乘积了，而且此时拆分出来的2和3不用再拆分。就拿5来举例，万一有更大的数拆分成5和其他若干数，那么这个5还是需要再度拆分的。因此这就是下述代码中dp[1],dp[2],dp[3]=1,2,3的缘由。

因此这个题可以用两种思路来写，但都是基于拆成2，3这两个数的理论。第一种用dp，思路和我的理解相近，代码如下所示；第二种直接写个循环，思路和大神理解相近，大于等于5时不断乘3减3，最后保证都是 2 和 3就好，代码比较简单就不列举了。

dp代码：

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        if n == 2:
            return 1
        if n == 3:
            return 2
        dp = [0 for _ in range(n+1)]
        #n大于等于4时，拆开得到的2和3不用再分了，因为2和3拆开得到的值小于它本身
        dp[1], dp[2], dp[3] = 1, 2, 3
        res = 0
        for i in range(4, n+1):
            for j in range(1, int((n+1)/2)+1):
                res = max(res, dp[j]*dp[i-j])           
            dp[i] = res      
        return dp[n]

14. 剪绳子 II

在这里插入图片描述
思路：在取模运算以后，此时的动态规划就不能用了，而是应该利用上题中大神的方法，直接写循环判断即可。其实我觉得这个题的思路要受到上个题的启发。

代码：

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        if n == 2:
            return 1
        if n == 3:
            return 2
        res = 1
        while n >= 4:
            if n >= 5:
                res = res*3
                if res > 1000000007:
                    res %= 1000000007
                n -= 3
            elif n == 4:
                res = res * 2
                if res > 1000000007:
                    res %= 1000000007
                n -= 2
        if n == 2 or n == 3:
            res = res * n
            res %= 1000000007

        return res

15. 二进制中1的个数

在这里插入图片描述
思路：标准的位运算题，将原始数据和1做与运算，如果等于1，表明该数据二进制最低一位是1，让计数器+1；不断的向右移位，并和1相与，直到该数据等于0，就可以统计出原始数据中二进制位是1的个数。

代码：

class Solution:
    def hammingWeight(self, n: int) -> int:
        res = 0
        while n > 0:
            if n & 1 == 1:
                res += 1
            n >>= 1
        return res