欧几里得算法的另类想法

        欧几里得算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数a，b的最大公约数。

        其计算原理依赖于下面的定理：

定理：

        两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数的相除余数的最大公约数。最大公约数（greatest common divisor）缩写为gcd。

        gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (不妨设a>b 且r=a mod b ,r不为0)

证明：

        a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数），则r = a mod b

        假设d是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。

        而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，等式左边可知m为整数，因此d|r

        因此d也是（b,a mod b）的公约数

        因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

        以上摘自百度百科： http://baike.baidu.com/link?url=RqoFFQcKTGFb4u2AFdPGLdgSAvjTdXKq6nYVk8CpyELLP1NqT9jI_oHiKZHWv2dxrU8M1J82hpiZAcxpv_ow7_

        下面我说下自己的想法：

        假设m是a，b的最大公约数，那么a = im，b = jm，a和b都是m的整数倍，那么我们要求m，其实就是求得a，b的系数i mod j最后逼近1的情况，无论是上面的辗转相除法，还是几何原本中欧几里得的辗转相减法，道理都是一样，最后都能得到系数为1的时候，即得到我们想要的m。