16、随机变量的深入解析与MATLAB实践

随机变量的深入解析与MATLAB实践

1. 概率计算与期望推导

首先，通过观察相关图形，我们可以得出 $P{X > 0} = \frac{1}{2}$。基于此以及其他给定条件，我们可以进一步推导随机变量的期望。具体来说，$E{X|A}$ 的计算过程如下：
从给定的条件 $(2.305)$、$(2.115)$ 和 $P{X > 0} = \frac{1}{2}$ 出发，我们得到：
$E{X|A} = \frac{\int_{0}^{1}xf_X(x)dx}{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}\int_{0}^{1}x e^{-\frac{x^2}{2}}dx$
对于等式右边的积分，我们利用附录 A 中的积分 4（当 $n = 1$ 且 $a = \frac{1}{2}$ 时）以及附录 C 中的伽马函数表达式进行计算，得到：
$\int_{0}^{1}x e^{-\frac{x^2}{2}}dx = \frac{\Gamma(\frac{1 + 1}{2})}{2^{\frac{1 + 1}{2}}} = 1$
最终得出 $E{X|A} = \sqrt{2}$。

2. MATLAB 实践

2.1 生成正态随机变量并估计其函数

• Exercise M.4.1 ：生成 50,000 个正态随机变量 $N(1, 9)$ 的样本，并估计其密度和分布函数。前 10,000 个样本的正态随机变量如图 4.27a 所示，对应的概率密度函数（PDF）和分布函数分别如图 4.27b 和 4.27c 所示。使用 30 个单元格得到的估计 PDF 如图 4