477-汉明距离总和

最新推荐文章于 2024-08-12 14:27:52 发布

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分类专栏： leetcode 文章标签：位运算比特位分解

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本文介绍了一种解决LeetCode题目477中汉明距离总和问题的高效分治算法，通过优化计算单个数字与前k个数字在每个比特位上的汉明距离，将时间复杂度降低到O(n)。核心在于利用并行计算每个比特位的独立性，实现O(1)求和。

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题目

477. 汉明距离总和 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)

思路

最直接的算法是遍历所有的数字组合并将每组数字的汉明距离求和，然而其时间复杂度为 $O(n^2)$ ，会超时。

我们考虑通过分治的方法来求解。首先考虑我们以及计算得到数组nums前k个数组成的区间[0, k-1]的所有数字的汉明距离总和total(0, k - 1)，那么[0,k]中所有数字汉明距离的总和total(0, k)就等于total(0, k-1)加上nums[k]同前k个数字的汉明距离总和。

上述算法的时间复杂度仍然为 $O(n^2)$ ，其同样遍历了所有数字组合，并没有达到优化的效果，不过可以看到如果求解nums[k]和前k个数的汉明距离之和可以 $O (1)$ 完成，我们就可以得到一个 $O (n)$ 的算法，然而，我们似乎并不能找到一种算法使得求解nums[k]和前k个数的汉明距离之和的时间复杂度为 $O (1)$ 。

但是，如果我们仅考虑nums[k]和前k个数的某一个比特位(例如第n比特)的汉明距离之和，则该操作可以在 $O (1)$ 完成，因为我们可以分别记录前k个数字中第n比特为0和为1的数字数量为bit0和bit1，对于nums[k]，如果其第n比特为0, 则在该比特位上，nums[k]同前k个数的汉明距离之和为bit1（因为对于两个单个bit的数字，其汉明距离只能为0或者1，相同为0，否则为1）；否则汉明距离之和为bit0. 这样我们就实现了在 $O (1)$ 的时间复杂度内求解nums[k]和前k个数在第n个比特位上的汉明距离之和。对于32比特的整数，由于求解汉明距离时每个比特位都是独立的，不受其他比特位的值的影响，因此只需要对32个比特位均执行一次该操作即可求得最终的汉明距离和。

代码

class Solution {
public:
    int totalHammingDistance(vector<int>& nums) {
        int r=0;
        for (int i=0; i<32; i++) {
        	// 当前比特位为0的数字数量
            int bit0 = 0;
            // 当前比特位为1的数字数量
            int bit1 = 0;
            for (int n : nums) {
                if ( (n >> i) & 0x1) {
                    r += bit0;
                    bit1++;
                } else {
                    r += bit1;
                    bit0++;
                }
            }
        }
        return r;
    }
};