40、线性再生码的拟阵理论与存储码：界与构造

线性再生码的拟阵理论与存储码：界与构造

1. 线性再生码与拟阵的基本概念

线性再生码（LRC）的许多重要性质都与其拟阵结构相关，拟阵 $M_C = (\rho_C, E)$ 能够捕捉线性码 $C$ 的关键特性。对于线性 $[n, k, d]$ - LRC $C$，当 $Z = Z (M_C)$ 时，对于任意 $X \in U (M_C)$，$C_X$ 是一个线性 $[n_X, k_X, d_X]$ - LRC，其参数计算如下：
- $n_X = |X|$
- $k_X = \rho(F_X)$
- $d_X = n_X - k_X + 1 - \max{\eta(Y) : Y \in Z (M_C|X) \setminus X}$

例如，设 $Z = Z (M_C)$ 是示例 6 中给出的循环平集格，$M_C = (\rho_C, E)$ 是与由示例 1 中的矩阵 $G$ 生成的线性 $[n, k, d]$ - LRC $C$ 相关联的拟阵。由示例 7 可知，$X = {1, 2, 3, 7}$ 是一个循环集，根据定理 4，$C_X$ 是一个线性 $[n_X, k_X, d_X]$ - LRC，参数为 $n_X = 4$，$k_X = 3$，$d_X = 4 - 3 + 1 - 0 = 2$。此外，$n = n_E = 9$，$k = k_E = 4$，$d = d_E = 9 - 4 + 1 - 3 = 3$。

2. 单例类型界

2.1 拟阵和线性 LRC 的单例类型界

拟阵理论为理解和连接多个不同数学分支提供了统一的方法，如线性代数、图论、组合学、几何、拓扑和优化理论等。线性 LRC 的关键参数 $