✠OpenGL-3-数学基础

3D坐标系统

3D图形学中几乎每个方面、每种效果——移动、缩放、透视、纹理、光照、阴影等都在很大程度上以数学方式实现。
在OpenGL中的坐标系大体是右手坐标系。

点

3D空间中的点可以通过使用形如(2, 8, -3)的符号，列出X、Y、Z的值来表示。不过，如果用齐次坐标来表示点会更有用。在每个点的齐次坐标有4个值。即(X, Y, Z, W)，其中W总是非零值，通常为1。因此我们会将之前的点表示为(2, 8, -3, 1)。齐次坐标将会使我们的图形学计算更高效。

用来存储齐次3D坐标的GLSL数据类型是vec4。GLM库包含适合在C++/OpenGL应用中创建和存储3元和4元(齐次)点的类，分别叫作vec3和vec4。

矩阵(单位矩阵、转置矩阵、逆矩阵；矩阵加法和乘法)

$$\left[\begin{array}{cccc}{A}_{00}& A_{01}& A_{02}& A_{03}\\ A_{10}& A_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{20}& A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{30}& A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]$$
GLSL语言中的mat4数据类型用来存储4×4矩阵。同样，GLM库中有mat4类用以实例化并存储4×4矩阵。

①单位矩阵：
一条对角线的值为1，其余值全为0。
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
任何值乘以单位矩阵都不会改变。

单位矩阵也可以简单地记为一个对角线矩阵：E_n = diag(1,1,…,1)
根据矩阵乘法的定义，单位矩阵的重要性质为：AE_n = A；E_nA = A

在GLM中，调用构造函数glm::mat4 m(1.0f);以在变量m中生成单位矩阵。

②转置矩阵：
矩阵转置的计算是通过交换矩阵的行与列完成的。转置，就是旋转置换的意思；给定一个mxn的矩阵，则A的转置就是nxm的矩阵，用A^T表示。例如：

转置矩阵特性：
1、(A^ᵀ)^ᵀ = A
2、(A+B)^ᵀ = A^ᵀ + B^ᵀ
3、对任意数r，(rA)^ᵀ = rA^ᵀ
4、(AB)^ᵀ = B^ᵀA^ᵀ

GLSL库和GLM库都有转置函数，分别是transpose(mat4)和glm::transpose(mat4)。

➂逆矩阵
一个4×4矩阵的逆矩阵是另一个4×4矩阵，用M^-1表示。

在矩阵乘法中有如下性质：
M×M^-1 = M^-1×M = 单位矩阵 E
若 AB = BA = E，则 A 是可逆的，B 是 A 的逆矩阵（B=A^-1）。
若A可逆，则A^-1亦可逆，且：(A^-1)^-1 = A
若A可逆，则A^T亦可逆，且：(A^T)^-1=(A^-1)^T
若A、B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且：(AB)^-1=B^-1A^-1

GLSL和GLM都提供了mat4.inverse()函数完成矩阵的逆矩阵运算。

➊矩阵加法：

GLSL 和 GLM 都支持使用重载后的加法“+”运算符，进行矩阵加法。

➋矩阵乘法：

矩阵相乘也经常叫作合并。
我们需要经常将相同的一系列矩阵变换应用到场景中的每个点上。通过预先一次计算好这些矩阵的合并，就可以成倍减少总的矩阵运算量。

GLSL 和 GLM 都支持使用重载后的乘法“*”运算符，进行矩阵乘法。

点与矩阵相乘，得到新点：

我们用齐次坐标将点(X, Y, Z)表示为列数为1的矩阵。
注意，矩阵乘法不满足【交换律】。（很容易证明交换律不成立）

矩阵乘法满足【结合律】：(很容易证明结合律成立)
Now Point = M₁×(M₂×(M₃×Point)) == (M₁×M₂×M₃)×Point（ = M_123合并×Point）

变换矩阵(平移、缩放、旋转、投影[透视&推导/正射]、LookAt)

变换矩阵的重要特性之一就是它们都是 4× 4 矩阵。这是因为我们决定使用齐次坐标系。否则，各变换矩阵可能会有不同的维度并且无法相乘。正如我们所见，确保变换矩阵大小相同并不只是为了方便，同时让它们可以任意组合，进行预先计算变换矩阵以提升性能。

➊平移矩阵
平移矩阵用于将物体从一个位置移至另一位置。

下面展示了平移矩阵和它与齐次坐标点相乘的效果——平移矩阵变换：(若非齐次坐标，无法进行)
$$\left(\begin{array}{l}X+T_x\\ Y+T_y\\ Z+T_z\\ 1\end{array}\right)=\left[\begin{array}{llll}1& 0& 0& T_x\\ 0& 1& 0& T_y\\ 0& 0& 1& T_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\times \left(\begin{array}{l}X\\ Y\\ Z\\ 1\end{array}\right)$$

()是代表向量vector，[]是代表矩阵matrix

平移矩阵变换的结果：
点(X, Y, Z)平移到了位置(X+T_x, Y+T_y, Z+T_z)

例如，将一组点向上沿Y轴正方向移动5个单位，可以通过给一个单位矩阵的T_y位置放入5来构建平移矩阵。之后只需将想要移动的点与矩阵相乘就可以了。

GLM中有一些函数是用于构建与点相乘的平移矩阵的。相关操作有：

• mat4 glm::translate(mat4 const& m, vec3 const& v) 通过3元素向量，构建4×4平移变换矩阵；
• mat4 × vec4 // 4×4矩阵 × 4元素向量 => 新4元素向量。

一般是用单位矩阵来使3元素平移向量生成平移变换矩阵：
glm::mat4 m = glm::translate(glm::mat4(1.0f), glm::vec3(x,y,z));
结果如下：
1 0 0 x
0 1 0 y
0 0 1 z
0 0 0 1 （刚好满足平移变换矩阵的格式）
注：对于vec3 类型，要用它可以与乘以的 4× 4 矩阵兼容，需要将其转换为 vec4 类型，这个转换是用 vec4(vec3,1.0)完成的。

➋缩放矩阵
缩放矩阵用于改变物体的大小或者将点向原点相反方向移动。虽然缩放点这个操作乍一看有点奇怪，不过 OpenGL 中的物体都是用一组或多组的点定义的。因此，缩放物体涉及缩放它的点的集合。

下面展示了缩放矩阵的形式和当它与齐次坐标点相乘的效果——经过缩放值修改后的新点。
$$\left(\begin{array}{l}X\ast S_x\\ Y\ast S_y\\ Z\ast S_z\\ 1\end{array}\right)=\left[\begin{array}{llll}{S}_x& 0& 0& 0\\ 0& S_y& 0& 0\\ 0& 0& S_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\times \left(\begin{array}{l}X\\ Y\\ Z\\ 1\end{array}\right)$$
GLM中有一些函数是用于构建与点相乘的缩放矩阵的。相关操作有：

• glm::scale(x, y, z) 构建缩放(x, y, z)的矩阵；
• mat4 × vec4

缩放还可以用来 切换坐标系：
例如，可以用缩放来在给定右手坐标系的情况下确定左手坐标。

从上图可以看到通过反转Z坐标就可以从右手坐标切换为左手坐标。因此，用来切换坐标系的缩放矩阵变换是：
$$\left[\begin{array}{llll}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
➌旋转矩阵
旋转会稍微复杂一些，因为在 3D 空间中旋转物体需要指定旋转轴和旋转的角度或弧度。

数学家莱昂哈德· 欧拉表明，围绕任何轴的旋转都可以表示为绕 X、Y、Z 轴旋转的组合。围绕这 3 个轴的旋转角度被称为欧拉角。 这个被称为欧拉定理的发现，对我们很有用，因为对于每个坐标轴的旋转可以用矩阵变换来表示。

下面展示了3种旋转变换，即绕X、Y和Z轴旋转。

ⓐ绕X轴旋转θ度：
$$\left(\begin{array}{l}{X}^{\prime }\\ Y^{\prime }\\ Z^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=[\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}$$