Pieces Assignment（状态DP）

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本文探讨了一个关于n*m棋盘布局的问题，目标是在棋盘上放置k个棋子，确保任意两个棋子不相邻。通过状态DP算法解决此问题，详细介绍了二进制表示方法、状态转移方程及实现细节。

Pieces Assignment

	Source : zhouguyue
	Time limit : 1 sec		Memory limit : 64 M

Submitted : 267, Accepted : 107

Background

有一个n*m的棋盘(n、m≤80,n*m≤80)要在棋盘上放k(k≤20)个棋子，使得任意两个棋子不相邻（每个棋子最多和周围4个棋子相邻）。求合法的方案总数。

Input

本题有多组测试数据，每组输入包含三个正整数n,m和k。

Output

对于每组输入，输出只有一个正整数，即合法的方案数。

Sample Input

2 2 3
4 4 1

Sample Output

0
16

思路：

状态 DP。以行为标准，因为 n * m <= 80，说明因为 8 * 8 = 81 > 80，所以行列不可能同时大于或者等于 8，行列至少有一个是小于8的，故考虑的时候始终让列数小于 8，故一行有无放棋子的可能是 2 ^ 8，因为不要求相邻，所以可以通过一组二进制来表示一行可能存在的棋子的情况。比如该棋盘大小为 4 X 3，那么说明一行可能出现的情况是 000 ， 001 ， 010 ，100 ， 101 5 种情况。而每个二进制数都可以用一个十进制数来表示。用 s 数组记录每个可能情况的二进制所对应的十进制数，用 c 数组记录每个可能情况的二进制所对应的 1 的个数。预处理这些序列之后，就可以递推下去了。

用 dp [ i ] [ j ] [ k ]，代表第 i 行时，运用 j 这个二进制的放置方法，所构成到这行为止总共的棋子数为 k 的情况总数。那么：

dp [ i ] [ j ] [ k ] += dp [ i - 1 ] [ a ] [ k - c[ j ] ] （当满足 s [ j ] & s [ a ] == 0 时），最后循环所有 way 的 dp [ n ] [ way ] [ k ] 求得总和即为答案。数组要开 long long，得出的结果也要用 long long 保存，因为情况会爆 int。

AC：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

int n, m, k, way;
int c[600], s[600];
ll dp[100][600][25];

void make_num() {

        for (int i = 0; i < (1 << m); ++i) {
                int num = i, one = 0;
                int temp = 0, last = num % 2;
                num /= 2;
                if (last) ++one;

                while (num) {
                        if (num % 2) ++one;
                        if (last && (num % 2)) {
                                temp = 1;
                                break;
                        }
                        last = num % 2;
                        num /= 2;
                }

                if (temp) continue;
                else {
                        ++way;
                        c[way] = one;
                        s[way] = i;
                }
        }

}

void solve() {

        memset(dp, 0, sizeof(dp));

        dp[0][1][0] = 1;

        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
                for (int kk = 0; kk <= k; ++kk) {
                        for (int p = 1; p <= way; ++p) {
                                if (c[p] > kk) continue;

                                for (int q = 1; q <= way; ++q) {

                                        if (!(s[p] & s[q])) {
                                            dp[i][p][kk] +=
                                            dp[i - 1][q][kk - c[p]];
                                        }
                                }
                        }
                }
        }

        ll res = 0;
        for (int i = 1; i <= way; ++i) {
                res += dp[n][i][k];
        }

        printf("%lld\n", res);

}

int main() {

        while (~scanf("%d%d%d", &n, &m, &k)) {
                if (n < m) swap(n, m);

                way = 0;

                make_num();

                solve();

        }

        return 0;
}