最大公约数ax+by=d

ax+by=d,d是最小正数的证明：

 

首先要证明存在解:

因为 d|a,d|b,所以对任意的x,y∈Z，d|ax+by。

 

假设m是最小正数C = {ax+by|x,y∈Z}

 

∵ a%m =a- [a/m]*m=a-q*(ax+by)=a(1-qx)+b(-qy) ∈C

 

因为 0<=a%m<m,所以a%m=0,m|a,

同理 m|b,∴m|(a,b)=d

综合m|d,d|m ，所以m=d