三点共线判断

经典的计算几何方面问题,判断二维坐标系中是否三个点在一条直线上:

A (ax,ay) ,B(bx,by),C(cx,cy)

 

 

1. 斜率解法


判断  (ay-by)/(ax-bx) == (cy-by)/(cx-bx)


缺点:当 ax == bx 或 cx==bx 时需要特殊判断,注意使用 gcd 化简分子分母比较,不要使用浮点结果比较,可能会有差别



2.周长判断解法

排序周长 AC > AB >BC


判断 AC == AB+BC


缺点:由于 sqrt  开方运算,导致结果不准确,不稳定,在三角形接近扁平时,结果误差。


3.最优解法:面积判断


判断 area(ABC) ==0


area(ABC) = 1/2 * ( AC X BC )  = 1/2 *((ax-cx)*(by-cy)-(bx-cx)*(ay-cy))

判断 (ax-cx)*(by-cy) == (bx-cx)*(ay-cy) 即可。


AC X BC   为两矢量的叉积



ps: 叉积定义:


 

由推论1,2 以及

x X y  = z  ,  y X y = 0 , 得



### 判断三点是否共线C++实现 在几何计算中,判断三个点是否共线可以通过多种方法实现。一种常见的方式是利用向量叉积的概念。如果两个向量之间的叉积为零,则说明这两个向量平行或者重合,从而可以推断这三点共线。 以下是基于此原理的一个简单 C++ 实现: ```cpp #include <iostream> using namespace std; // 定义点结构体 struct Point { double x, y; }; // 计算两点之间形成的向量 double crossProduct(const Point& p1, const Point& p2, const Point& p3) { // 向量 AB 和 AC 的叉积 return (p2.x - p1.x) * (p3.y - p1.y) - (p2.y - p1.y) * (p3.x - p1.x); } bool areCollinear(const Point& p1, const Point& p2, const Point& p3) { // 如果叉积接近于零,则认为三点共线 return abs(crossProduct(p1, p2, p3)) < 1e-9; // 考虑浮点数精度误差 } int main() { Point p1 = {1.0, 1.0}; Point p2 = {2.0, 2.0}; Point p3 = {3.0, 3.0}; if (areCollinear(p1, p2, p3)) { cout << "Points are collinear." << endl; } else { cout << "Points are not collinear." << endl; } return 0; } ``` #### 解释 1. **定义点结构体**:`Point` 结构体用于存储二维平面上的坐标。 2. **计算叉积**:通过 `crossProduct` 函数计算由三组点构成的两向量的叉积[^1]。 3. **判断共线性**:由于计算机中的浮点运算可能存在微小误差,因此使用一个小阈值(如 \(1 \times 10^{-9}\))来判定叉积是否接近于零[^2]。 这种方法的时间复杂度为 O(1),因为它仅涉及简单的数学运算。 --- ### 可能的扩展与注意事项 1. 若输入数据可能包含较大的数值范围或高精度需求,建议考虑更精确的数据类型替代 `double`,例如 `long double` 或者专用的大整数库[^3]。 2. 对于三维空间中的点,可进一步推广该算法至三维场景下的共面检测。 ---
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