编程之美2.16 最长上升子序列

如何求一个一维数组（N个元素）中最长递增子序列？
例如给定序列1-1,2,-3,4,-5,6,,-7,其中最长递增子序列的长度为4（如1,2,4,6）。
经典解法：也是传统解法，动态规划，每加入一个新的数字，则检查是否和前面所记录的序列能组成更长序列。示例如下：
扫描序列 1 -1 2 -3 4 ……
记录序列最大值 1 -1 2 1 4 ……
记录序列长度 1 1 2 -3 3 ……
代码如下：

int LIS(int array[], int len) { int List[MaxLen]; int max = 0; for(int i = 0; i < len; i++) { List[i] = 1; for(int j = 0; j < i; j++) { if(array[i] > array[j] && List[j] + 1 > List[i]) { List[i] = List[j] + 1; } } if(List[i] > max) max = List[i]; } return max; }

改进解法：传统解法的时间复杂度O(N^2)。显然效率不高，也是较基本的一种解法，认真分析发现其中有大量重复判断。举个例子：
5 6 7 1 2 3 4 8.显然当加入8的时候，只需和1 2 3 4构成序列即可，不必记录和5 6 7构成序列的情况，这是关键，因为对于未来情况也就是8后面的情况，都是一样的，所以完全不必记录和5 6 7构成序列的情况。如果每加入一个数字，能够按优先匹配历史最长序列长度显然能提高效率。
代码如下：

int LIS(int array[], int len) { int Maxs_Min_V[MaxLen]; int nMaxLIS = 1; //初始最长递增子序列的长度 int List[MaxLen]; Maxs_Min_V[1] = array[0]; Maxs_Min_V[0] = -10000; //只要比数组中所有值小就行 //初始化 for(int k = 0; k < len; k++) { List[k] = 1; } for(int i = 1; i < len; i++) { //遍历历史最长递增序列信息 int j = 0; for(j = nMaxLIS; j >= 0; j--) { if(array[i] > Maxs_Min_V[j]) { List[i] = j + 1; break; } } //如果当前最长序列大于最长递增序列长度，更新最长信息 if(List[i] > nMaxLIS) { nMaxLIS = List[i]; Maxs_Min_V[nMaxLIS] = array[i]; } else if(Maxs_Min_V[j] < array[i] && array[i] < Maxs_Min_V[j + 1]) { Maxs_Min_V[j + 1] = array[i]; } } return nMaxLIS; }