递归问题

转自：http://blog.youkuaiyun.com/justinavril/archive/2008/08/01/2753596.aspx

所谓递归问题，可以分成两部分来理解：一是基本问题，也可以称之为原始问题，比较好解决；二是后续问题，比较复杂，但是和原始问题比较类似，可以调用自身的一个新的副本去解决它。

最简单的可以归为递归问题的就是阶乘，1的阶乘我们知道是1，2的阶乘为2*1=2*1!，而3的阶乘又是3*2!...这样我们就能够知道如何用递归去实现n的阶乘了。

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1. publicclassFactorial{
2. publicstaticintfactorial(intn){
3. intresult=0;
5. if(n<=1){
6. result=1;
7. }
8. elseif(n>1){
9. result=n*factorial(n-1);
10. }
11. returnresult;
12. }
14. publicstaticvoidmain(Stringargs[]){
15. for(inti=0;i<10;i++)
16. System.out.print(factorial(i)+"");
17. }
18. }

输出：

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1. 112624120720504040320362880

当然了这是最简单的，也是最好理解的递归例子，但是它揭示了递归的实质：将复杂问题递归为简单问题解决...

我们再来看看稍微复杂点的，也比较有意思，汉诺塔问题：有1，2，3这3个柱子，1号柱子上有n个盘子（盘子由小到大地串在上面，且小盘子永远不能在大盘子下面），以2号柱子为临时存放地，最终将n个盘子移到3号柱子上。将这个问题分析为递归问题，分解出以下三点：

1. 从1号柱子移动n-1个盘子到2号柱子，3号柱子为临时存放点；

2. 从1号柱子将第n个盘子移到3号柱子；

3. 将n-1个柱子从2号柱子移到3号柱子，1号柱子为临时存放点。

请看代码：

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1. publicclassHanoi{
2. publicstaticvoidhanoi(intmovingPans,StringsourcePillar,StringtargetPillar,StringtempPillar){
3. if(movingPans==1){
4. movePans(1,sourcePillar,targetPillar);
5. }
6. else{
7. hanoi(movingPans-1,sourcePillar,tempPillar,targetPillar);
8. movePans(movingPans,sourcePillar,targetPillar);
9. hanoi(movingPans-1,tempPillar,targetPillar,sourcePillar);
10. }
11. }
13. publicstaticvoidmovePans(intpanNum,StringsourcePillar,StringtargetPillar){
14. System.out.println("Move"+panNum+"form"+sourcePillar+"#to"+targetPillar+"#");
15. }
17. publicstaticvoidmain(Stringargs[]){
18. System.out.println("3个盘子的汉诺塔问题：");
19. hanoi(3,"1","3","2");
20. System.out.println("5个盘子的汉诺塔问题：");
21. hanoi(5,"1","3","2");
22. }
23. }

输出：

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1. 3个盘子的汉诺塔问题：
2. Move1form1#to3#
3. Move2form1#to2#
4. Move1form3#to2#
5. Move3form1#to3#
6. Move1form2#to1#
7. Move2form2#to3#
8. Move1form1#to3#
9. 5个盘子的汉诺塔问题：
10. Move1form1#to3#
11. Move2form1#to2#
12. Move1form3#to2#
13. Move3form1#to3#
14. Move1form2#to1#
15. Move2form2#to3#
16. Move1form1#to3#
17. Move4form1#to2#
18. Move1form3#to2#
19. Move2form3#to1#
20. Move1form2#to1#
21. Move3form3#to2#
22. Move1form1#to3#
23. Move2form1#to2#
24. Move1form3#to2#
25. Move5form1#to3#
26. Move1form2#to1#
27. Move2form2#to3#
28. Move1form1#to3#
29. Move3form2#to1#
30. Move1form3#to2#
31. Move2form3#to1#
32. Move1form2#to1#
33. Move4form2#to3#
34. Move1form1#to3#
35. Move2form1#to2#
36. Move1form3#to2#
37. Move3form1#to3#
38. Move1form2#to1#
39. Move2form2#to3#
40. Move1form1#to3#

在前文《递归问题一》中简单介绍了几个典型的递归问题。前几天看到一个人在论坛里问，如何实现一个字符串数组的全排列问题，底下人都说可以用递归方法实现，我想了会，没想出来，不过有人贴出了他的代码，我这里借用一下：

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1. publicclassAllSort{
2. publicstaticvoidmain(String[]args){
3. charbuf[]={'a','b','c'};
5. perm(buf,0,buf.length-1);
6. }
7. publicstaticvoidperm(char[]buf,intstart,intend){
8. if(start==end){//当只要求对数组中一个字母进行全排列时，只要就按该数组输出即可
9. for(inti=0;i<=end;i++){
10. System.out.print(buf[i]);
11. }
12. System.out.println();
13. }
14. else{//多个字母全排列
15. for(inti=start;i<=end;i++){
16. chartemp=buf[start];//交换数组第一个元素与后续的元素
17. buf[start]=buf[i];
18. buf[i]=temp;
20. perm(buf,start+1,end);//后续元素递归全排列
22. temp=buf[start];//将交换后的数组还原
23. buf[start]=buf[i];
24. buf[i]=temp;
25. }
26. }
27. }
28. }

输出：

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1. abc
2. acb
3. bac
4. bca
5. cba
6. cab

还有一个比较著名的递归问题，就是n皇后问题。就是在一个n*n的国际象棋的方格中，怎么样才能将n个皇后摆在棋盘上共存。我们知道皇后是能横着，竖着和对角线这样三条路子。以8皇后为例讨论这个问题，那么为了和Java中的数组第一个索引0更好的结合起来，我们定义8*8的棋盘中每个方格的坐标为(0, 0)，(0, 1)...假定两个皇后(i, j)，(k, l)，那么这两个皇后的坐标一定得满足：(i != k) && (j != l) &&(|i-k| != |j-l|)。我们以一个长度为8的数组表示皇后的坐标，例如(0, 1, 2, ... , 7)，这就意味着第一个皇后摆在(0, 0)上，第二个皇后在(1, 1)上，依次类推。这样就能保证每个皇后的纵坐标是不一样的。下面是具体的实现代码：

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1. classNQueen{
2. privateintnoOfSolutions;
3. privateintnoOfQueens;
4. privateint[]queensInRow;
6. publicNQueen(){
7. this.noOfQueens=8;
8. this.queensInRow=newint[8];
9. this.noOfSolutions=0;
10. }
12. publicNQueen(intqueens){
13. this.noOfQueens=queens;
14. this.queensInRow=newint[noOfQueens];
15. this.noOfSolutions=0;
16. }
18. publicbooleancanPlaceQueen(intk,inti){
19. for(intj=0;j<k;j++){
20. if((queensInRow[j]==i)||(Math.abs(queensInRow[j]-i)==Math.abs(j-k))){
21. returnfalse;
22. }
23. }
24. returntrue;
25. }
27. publicvoidqueensConfiguration(intk){
28. for(inti=0;i<noOfQueens;i++){
29. if(canPlaceQueen(k,i)){
30. queensInRow[k]=i;
32. if(k==noOfQueens-1){
33. printConfiguration();
34. }
35. else{
36. queensConfiguration(k+1);
37. }
38. }
39. }
40. }
42. publicvoidprintConfiguration(){
43. noOfSolutions++;
44. System.out.print("(");
46. for(inti=0;i<noOfQueens-1;i++){
47. System.out.print(queensInRow[i]+",");
48. }
49. System.out.println(queensInRow[noOfQueens-1]+")");
50. }
52. publicintsolutionsCount(){
53. returnnoOfSolutions;
54. }
55. }
56. publicclassTestNQueen{
57. publicstaticvoidmain(Stringargs[]){
58. NQueenqueen=newNQueen();
60. queen.queensConfiguration(0);
61. }
62. }

输出：

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1. (0,4,7,5,2,6,1,3)
2. (0,5,7,2,6,3,1,4)
3. (0,6,3,5,7,1,4,2)
4. (0,6,4,7,1,3,5,2)
5. (1,3,5,7,2,0,6,4)
6. (1,4,6,0,2,7,5,3)
7. (1,4,6,3,0,7,5,2)
8. (1,5,0,6,3,7,2,4)
9. (1,5,7,2,0,3,6,4)
10. (1,6,2,5,7,4,0,3)
11. (1,6,4,7,0,3,5,2)
12. (1,7,5,0,2,4,6,3)
13. (2,0,6,4,7,1,3,5)
14. (2,4,1,7,0,6,3,5)
15. (2,4,1,7,5,3,6,0)
16. (2,4,6,0,3,1,7,5)
17. (2,4,7,3,0,6,1,5)
18. (2,5,1,4,7,0,6,3)
19. (2,5,1,6,0,3,7,4)
20. (2,5,1,6,4,0,7,3)
21. (2,5,3,0,7,4,6,1)
22. (2,5,3,1,7,4,6,0)
23. (2,5,7,0,3,6,4,1)
24. (2,5,7,0,4,6,1,3)
25. (2,5,7,1,3,0,6,4)
26. (2,6,1,7,4,0,3,5)
27. (2,6,1,7,5,3,0,4)
28. (2,7,3,6,0,5,1,4)
29. (3,0,4,7,1,6,2,5)
30. (3,0,4,7,5,2,6,1)
31. (3,1,4,7,5,0,2,6)
32. (3,1,6,2,5,7,0,4)
33. (3,1,6,2,5,7,4,0)
34. (3,1,6,4,0,7,5,2)
35. (3,1,7,4,6,0,2,5)
36. (3,1,7,5,0,2,4,6)
37. (3,5,0,4,1,7,2,6)
38. (3,5,7,1,6,0,2,4)
39. (3,5,7,2,0,6,4,1)
40. (3,6,0,7,4,1,5,2)
41. (3,6,2,7,1,4,0,5)
42. (3,6,4,1,5,0,2,7)
43. (3,6,4,2,0,5,7,1)
44. (3,7,0,2,5,1,6,4)
45. (3,7,0,4,6,1,5,2)
46. (3,7,4,2,0,6,1,5)
47. (4,0,3,5,7,1,6,2)
48. (4,0,7,3,1,6,2,5)
49. (4,0,7,5,2,6,1,3)
50. (4,1,3,5,7,2,0,6)
51. (4,1,3,6,2,7,5,0)
52. (4,1,5,0,6,3,7,2)
53. (4,1,7,0,3,6,2,5)
54. (4,2,0,5,7,1,3,6)
55. (4,2,0,6,1,7,5,3)
56. (4,2,7,3,6,0,5,1)
57. (4,6,0,2,7,5,3,1)
58. (4,6,0,3,1,7,5,2)
59. (4,6,1,3,7,0,2,5)
60. (4,6,1,5,2,0,3,7)
61. (4,6,1,5,2,0,7,3)
62. (4,6,3,0,2,7,5,1)
63. (4,7,3,0,2,5,1,6)
64. (4,7,3,0,6,1,5,2)
65. (5,0,4,1,7,2,6,3)
66. (5,1,6,0,2,4,7,3)
67. (5,1,6,0,3,7,4,2)
68. (5,2,0,6,4,7,1,3)
69. (5,2,0,7,3,1,6,4)
70. (5,2,0,7,4,1,3,6)
71. (5,2,4,6,0,3,1,7)
72. (5,2,4,7,0,3,1,6)
73. (5,2,6,1,3,7,0,4)
74. (5,2,6,1,7,4,0,3)
75. (5,2,6,3,0,7,1,4)
76. (5,3,0,4,7,1,6,2)
77. (5,3,1,7,4,6,0,2)
78. (5,3,6,0,2,4,1,7)
79. (5,3,6,0,7,1,4,2)
80. (5,7,1,3,0,6,4,2)
81. (6,0,2,7,5,3,1,4)
82. (6,1,3,0,7,4,2,5)
83. (6,1,5,2,0,3,7,4)
84. (6,2,0,5,7,4,1,3)
85. (6,2,7,1,4,0,5,3)
86. (6,3,1,4,7,0,2,5)
87. (6,3,1,7,5,0,2,4)
88. (6,4,2,0,5,7,1,3)
89. (7,1,3,0,6,4,2,5)
90. (7,1,4,2,0,6,3,5)
91. (7,2,0,5,1,4,6,3)
92. (7,3,0,2,5,1,6,4)

好了，希望这两篇blog能帮助你了解递归的思维方式，欢迎拍砖！