acm-polya计数公式

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iteye_1503

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新浪博客发表时间 -- 2009-07-26 21:37:42)

polya计数公式

Redfield-Polya 定理是组合数学理论中最重要的定理之一．自从 1927 年 Redfield 首次运用 group reduction function 概念，现在称之为群的循环指标（circle index of a group），至今 60 多年来，他在许多实际计数问题上得到了广泛的应用，它以置换群为理论基础，与生成函数有机地结合在一起，揭示了一类具有组合意义的计数的规律性．

例子：

设  是有限集,  有限赋权集,  为  上的置换群.  . 由  可确定  总元素的等价关系“ ”, 由“ ”, 集合  可分解为若干互不交的等价类之并, 等价类的全体组成的集合记为  ,  中的元素为  , 那么等价类的权的和就可以用  的轮换示式表示. 即
　　定理 3 <wbr>(Polya 1937)
 <img title="acm-polya计数公式" height="51" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn17.gif" width="339" align="absMiddle" border="0"> ,
如果对 <img title="acm-polya计数公式" height="15" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn18.gif" width="37" align="absMiddle" border="0"> , 均取 <img title="acm-polya计数公式" height="19" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn19.gif" width="59" align="absMiddle" border="0"> , 则得等价类的元素个数为
 <img title="acm-polya计数公式" height="24" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn20.gif" width="138" align="absMiddle" border="0"> 
　　<strong>证明</strong> <wbr>(见相关知识) 
　　<strong>例 12</strong> <wbr>用红蓝二色对正立方体 <img title="acm-polya计数公式" height="10" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn21.gif" width="7" align="absMiddle" border="0"> 的六个面染色, 对红、蓝色赋权 <img title="acm-polya计数公式" height="14" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn22.gif" width="15" align="absMiddle" border="0"> (红)=<img title="acm-polya计数公式" height="10" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn23.gif" width="12" align="absMiddle" border="0"> , <img title="acm-polya计数公式" height="14" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn24.gif" width="15" align="absMiddle" border="0"> (蓝)=<img title="acm-polya计数公式" height="13" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn25.gif" width="11" align="absMiddle" border="0"> , 此时的轮换示式为
 <img title="acm-polya计数公式" height="34" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn26.gif" width="403" align="absMiddle" border="0"> 
对正方体的两个面染色法, 如果经过群 <img title="acm-polya计数公式" height="14" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn27.gif" width="13" align="absMiddle" border="0"> 的任意旋转, 都不能使旋转前后正方体对应的面染色相同, 则称为本质上不同的, 于是, 对正方体的面染色, 本质上不同的染色数是
 <img title="acm-polya计数公式" height="34" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn28.gif" width="365" align="absMiddle" border="0"> 
对具有四个红面, 两个蓝面的本质上不同的染色数, 是多项式
 <img title="acm-polya计数公式" height="24" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn29.gif" width="206" align="absMiddle" border="0"><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><img title="acm-polya计数公式" height="34" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn30.gif" width="483" align="absMiddle" border="0"><img title="acm-polya计数公式" height="16" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn31.gif" width="315" align="absMiddle" border="0"><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr>
中 <img title="acm-polya计数公式" height="15" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn32.gif" width="33" align="absMiddle" border="0"> 的系数, 即 2. 如果欲求具有 <img title="acm-polya计数公式" height="14" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn33.gif" width="6" align="absMiddle" border="0"> 个红面, <img title="acm-polya计数公式" height="15" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn34.gif" width="33" align="absMiddle" border="0"> 个蓝面的染色数 <img title="acm-polya计数公式" height="21" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn35.gif" width="90" align="absMiddle" border="0"> . 既有
 <img title="acm-polya计数公式" height="19" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn36.gif" width="353" align="absMiddle" border="0"> .
 <strong>　　例 13 </strong><wbr>用 2 个蓝珠, 1 个红珠, 1 个黄珠可串成多少种不同的项链?
　　<strong>解</strong> <wbr>设珠子集合为 <img title="acm-polya计数公式" height="22" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn37.gif" width="139" align="absMiddle" border="0"> , 颜色集 <img title="acm-polya计数公式" height="14" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn38.gif" width="28" align="absMiddle" border="0"> {蓝、红、黄}, 赋权为 <img title="acm-polya计数公式" height="10" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn39.gif" width="11" align="absMiddle" border="0"> (蓝)<img title="acm-polya计数公式" height="14" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn40.gif" width="23" align="absMiddle" border="0"> , <img title="acm-polya计数公式" height="10" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn41.gif" width="11" align="absMiddle" border="0"> (红)<img title="acm-polya计数公式" height="10" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn42.gif" width="23" align="absMiddle" border="0"> , <img title="acm-polya计数公式" height="10" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn43.gif" width="11" align="absMiddle" border="0"> (黄)<img title="acm-polya计数公式" height="13" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn44.gif" width="24" align="absMiddle" border="0"> , <img title="acm-polya计数公式" height="19" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn45.gif" width="19" align="absMiddle" border="0"> 上的置换群是二面体群:</wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>

  的循环指标多项式为:
  中全部模型的存储为:
　　<wbr><wbr><img title="acm-polya计数公式" height="34" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn53.gif" width="568" align="absMiddle" border="0"><wbr><wbr><img title="acm-polya计数公式" height="20" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn54.gif" width="619" align="absMiddle" border="0"> ,
所求模型的权 <img title="acm-polya计数公式" height="20" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn55.gif" width="81" align="absMiddle" border="0"> , 其系数为 2, 即有两种不同的项链.
　　<strong>例 14</strong> <wbr>设 <img title="acm-polya计数公式" height="14" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn56.gif" width="13" align="absMiddle" border="0"> 是有限集, <img title="acm-polya计数公式" height="14" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn57.gif" width="13" align="absMiddle" border="0"> 是 <img title="acm-polya计数公式" height="14" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn58.gif" width="13" align="absMiddle" border="0"> 上的置换群, 称 <img title="acm-polya计数公式" height="14" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn59.gif" width="13" align="absMiddle" border="0"> 的子集 <img title="acm-polya计数公式" height="19" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn60.gif" width="19" align="absMiddle" border="0"> 与 <img title="acm-polya计数公式" height="19" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn61.gif" width="19" align="absMiddle" border="0"> 等价(记为 <img title="acm-polya计数公式" height="19" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn62.gif" width="57" align="absMiddle" border="0"> ), 如果存在 <img title="acm-polya计数公式" height="17" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn63.gif" width="38" align="absMiddle" border="0"> , 使得 <img title="acm-polya计数公式" height="19" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn64.gif" width="65" align="absMiddle" border="0"> , 试求等价类的数目.
　　<strong>解</strong> <wbr>设集 <img title="acm-polya计数公式" height="19" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn65.gif" width="68" align="absMiddle" border="0"> , 赋权为: <img title="acm-polya计数公式" height="19" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn66.gif" width="127" align="absMiddle" border="0"> , 映射 <img title="acm-polya计数公式" height="20" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn67.gif" width="47" align="absMiddle" border="0"> ,
 <img title="acm-polya计数公式" height="51" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn68.gif" width="152" align="absMiddle" border="0"> 
其中 <img title="acm-polya计数公式" height="19" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn69.gif" width="50" align="absMiddle" border="0"> , 这样集 <img title="acm-polya计数公式" height="14" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn70.gif" width="13" align="absMiddle" border="0"> 的子集与 <img title="acm-polya计数公式" height="18" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn71.gif" width="21" align="absMiddle" border="0"> 中的映射一一对应, <img title="acm-polya计数公式" height="21" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn72.gif" width="59" align="absMiddle" border="0"> , 均有 <img title="acm-polya计数公式" height="19" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn73.gif" width="59" align="absMiddle" border="0"> , 从而子集的等价类为映射的等价类, 故子集等价类的数目等于 <img title="acm-polya计数公式" height="18" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn74.gif" width="21" align="absMiddle" border="0"> 中全部模型(在 <img title="acm-polya计数公式" height="19" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn75.gif" width="62" align="absMiddle" border="0"> )的存储, 由 Redfidld-Polya 定理, 等价类的数目为 <img title="acm-polya计数公式" height="24" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn76.gif" width="81" align="absMiddle" border="0"> .
　　如果对集 <img title="acm-polya计数公式" height="14" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn77.gif" width="12" align="absMiddle" border="0"> 重新呀赋权为 <img title="acm-polya计数公式" height="19" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn78.gif" width="130" align="absMiddle" border="0"> , 这里 <img title="acm-polya计数公式" height="10" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn79.gif" width="11" align="absMiddle" border="0"> 是变量, 有 <img title="acm-polya计数公式" height="14" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn80.gif" width="8" align="absMiddle" border="0"> 个元素的子集对应的映射 <img title="acm-polya计数公式" height="17" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn81.gif" width="8" align="absMiddle" border="0"> 的权 <img title="acm-polya计数公式" height="22" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn82.gif" width="69" align="absMiddle" border="0"> , 从而 <img title="acm-polya计数公式" height="18" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn83.gif" width="21" align="absMiddle" border="0"> 中全部模型在此赋权下的存储为: <img title="acm-polya计数公式" height="24" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn84.gif" width="202" align="absMiddle" border="0"> , 在细多项式中 <img title="acm-polya计数公式" height="18" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn85.gif" width="17" align="absMiddle" border="0"> 的系数 <img title="acm-polya计数公式" height="20" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn86.gif" width="18" align="absMiddle" border="0"> 是个有 <img title="acm-polya计数公式" height="14" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn87.gif" width="8" align="absMiddle" border="0"> 个元素的子集的等价类的数目, 当 <img title="acm-polya计数公式" height="14" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn88.gif" width="8" align="absMiddle" border="0"> 取遍全部非负整数时, <img title="acm-polya计数公式" height="43" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn89.gif" width="143" align="absMiddle" border="0"> . 多项式 <img title="acm-polya计数公式" height="24" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn90.gif" width="206" align="absMiddle" border="0"> 是有 <img title="acm-polya计数公式" height="14" alt="acm-polya计数公式" src="http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/zsx09/zsx09b/zsx09b01/images/zsx09b010_htm_eqn91.gif" width="8" align="absMiddle" border="0"> 个元素子集的等价类的数目的母函数.</wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>