POJ-2983 用Bellman-Ford求解差分约束..

差分约束就是一推
a1-a2<=k1
a2-a3<=k2
a3-a1<=k3
.....
之类的不等式组...求解差分约束也就是求解其中的一个解...如果能得到一组解..那么所有的数加同一个数那么不等式显然是成立的...也就是每个数可以取到任意值..那就确定一个数，来求出一组解..假设先给 a[ s] 一个初值...d [ s ] [ v ] 代表当 a [ s ] 为这个确定值时 a [ v ] 可以为的数...w [ u ] [ v ] 是值 u 与 v 之间的关系...如 av-au=k 则 w [ u ] [ v ] = k...可以通过反证法推倒出：
d [ s ] [ v ] <= d [ s ] [ u ] + w [ u ] [ v ]
这个式子就容易想到 Bellman-Ford 里的 Relax 过程了..于是乎可以将差分约束问题通过构图再用Bellman-Ford解决...图中的点就是 a1,a2...an 图中的边就是点之间的关系...如果 ai-aj=k 则有边 w [ j ] [ i ] = k..但大部分的不等式组不仅仅是小于等于关系...可能有大于等于..等于...>=很好处理..两边同时乘以-1就可以了...等于的情况..就把等于拆成两个不等式...例如ai-aj=k..则拆成 ai-aj<=k , aj-ai<=-k .. 显然这两个不等式的唯一解就是 ai-aj..但把其拆成了小于等于关系...符合差分约束的条件...
定任意一个点为原点...值也可以是任意值...然后做一次Bellman-Ford..得出的 d [ i ] 就是在这组解中ai的值...
但这里有个很大的问题，就是无解的情况，例如 a1-a2<=1 , a2-a1<=1 这种情况明显不可能有解...那在用Bellman-Ford中的情况就是存在负环...那么只要在做完Bellman-Ford再判断一下有没有负环就可以了...
具体的一道题POJ-2983，是给出一些点的位置关系...有确定的也有模糊的...问这些信息是不是没有矛盾是正确的..
很典型的差分约束问题...确定的情况转化为两个不确定的情况做两条边..模糊的情况就直接做边...然后用Bellman-Ford求解...再判断有没有负环..有负环就代表该不等式组无解..输出Unreliable..无负环代表有解~~这组信息可以推断出一组位置关系..则输出Reliable...
这道题要注意的就是...模糊关系时给的>=1..所以要记得转化成小于等于...这里没注意WA了好久...囧

Ps: 是<=..不是<..<的话要化成 <=k-1 !!!

Program:

#include<iostream> using namespace std; struct pp { int x,y,k; }line[300001]; int n,m,i,x,y,k; char c; bool Bellman_Ford() { int i,times,d[1001]; memset(d,0x7F,sizeof(d)); d[1]=0; for (times=1;times<=n;times++) for (i=1;i<=m;i++) if (d[line[i].y]>d[line[i].x]+line[i].k) d[line[i].y]=d[line[i].x]+line[i].k; for (i=1;i<=m;i++) if (d[line[i].y]>d[line[i].x]+line[i].k) return false; return true; } int main() { while (~scanf("%d%d",&n,&m)) { i=m; m=0; while (i--) { c=getchar(); while (c!='V' && c!='P' ) c=getchar(); ; if (c=='P') { scanf("%d%d%d",&y,&x,&k); m++; line[m].x=x; line[m].y=y; line[m].k=k; m++; line[m].x=y; line[m].y=x; line[m].k=-k; }else { scanf("%d%d",&x,&y); m++; line[m].x=x; line[m].y=y; line[m].k=-1; } } if (Bellman_Ford()) printf("Reliable\n"); else printf("Unreliable\n"); } return 0; }