Matlab：矩阵分解

简介

本节中讨论的所有三种矩阵分解利用了三角形矩阵，其中对角线上下的所有元素都为零。涉及三角矩阵的线性方程组可以使用前代或回代方法轻松快捷地求解。

Cholesky 分解

Cholesky 分解将对称矩阵表示为三角矩阵与其转置的积

A = R′R，

其中，R 是上三角矩阵。

并非所有对称矩阵都可以通过这种方式进行分解；采用此类分解的矩阵被视为正定矩阵。这表明，A 的所有对角线元素都是正数，并且非对角线元素“不太大”。帕斯卡矩阵提供了有趣的示例。在本章中，示例矩阵 A 为 3×3 帕斯卡矩阵。暂时转换为 6×6：

A = pascal(6)

A =
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6
1 3 6 10 15 21
1 4 10 20 35 56
1 5 15 35 70 126
1 6 21 56 126 252
A 的元素为二项式系数。每个元素都是其北向和西向邻点之和。Cholesky 分解为

R = chol(A)

R =
1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 5
0 0 1 3 6 10
0 0 0 1 4 10
0 0 0 0 1 5
0 0 0 0 0 1