【状压dp】P1896 [SCOI2005]互不侵犯

最新推荐文章于 2022-03-20 11:04:03 发布

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博客围绕在N×N棋盘放K个国王且互不攻击的方案数问题展开。介绍了输入输出格式，将其与八皇后问题对比，分析解题思路，需考虑国王使用数量、状态冲突等。还提及预处理减少状态以降低复杂度，介绍二进制操作判断冲突，强调dp数组类型及计算答案的要点。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

在N×N的棋盘里面放K个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。

注：数据有加强（2018/4/25）

输入输出格式

输入格式：

只有一行，包含两个数N，K （ 1 <=N <=9, 0 <= K <= N * N）

输出格式：

所得的方案数

不赞一个嘛？

思考（~~都不能说是思路了呜呜~~）：和八皇后有点像，但是八皇后状态更少一点，她们要求不在同一列同一行或对角线上，而国王只攻击自己八个方向上的。同八皇后一样，在考虑第i行国王的放置的时候只需要考虑第i-1行国王的放置。需要考虑的问题涉及：之前总共用了多少个国王？本层放多少个国王？受限于上一层本层能怎么放，则考虑一行时需要枚举：之前用了多少国王，上一层国王的状态，本层国王的状态（判断是否冲突）。

定义king[i]代表状态i下的国王数，king[41]=3 (41)=101001

state[i]代表剔除左右相邻的状态后第i个状态所对应的十进制数

dp[i][j][k]代表考虑第i行，第i行的状态是j，总共用了k个国王时的方案数

为什么要先剔除左右相邻的状态呢？从上面的分析得知，考虑每一层*遍历上一层的状态*遍历本层的状态*之前使用的国王数=9*(2^9)*(2^9)*81 约为1e9,不预处理减少状态的话复杂度太高了希望以后遇到这种能想到怎么把时间降下去

判断冲突（学到的二进制操作）

某数二进制表示存在两个连续的1-->两个国王在左右相邻（i<<1）&i 例如：101和1010相与为0, 110和1100相与位1

两个数在相同位置都是1-->两个国王上下相邻 state[j]&state[p]

右上角有国王 state[j]&(state[p]<<1) 将右上角的移动到上面再判断

左上角有国王 state[j]<<1&state[p]

注意：dp数组不开成long long过不了第八个和第九个带你

计算答案时：不确定哪一行用完了k个国王，遍历所有的行数和该行的状态

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,k;
typedef long long LL;
const int N=1000;
int state[N];
int king[N];
LL dp[10][1000][100];      //第i行，状态为j，总共摆了k个国王的方案数
int cnt;
LL sum;
void pre()
{
    int init=(1<<n)-1;
    for(int i=0;i<=init;++i)
    {
        if(!(i&(i<<1)))     //国王不相邻
        {
            state[++cnt]=i;
            king[cnt]=__builtin_popcount(i);    //记录第cnt个状态有多少个国王
        }
    }

}
int main()
{
    cin>>n>>k;
    pre();
    //for(int i=1;i<=cnt;++i) cout<<king[i]<<endl;
    for(int i=1;i<=cnt;++i)                     //初始化第一行
        if(king[i]<=k)
            dp[1][i][king[i]]=1;

    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        for(int j=1;j<=cnt;++j)
        {
            for(int p=1;p<=cnt;++p)
            {
                if(state[j]&state[p]) continue; //上下不相邻
                if(state[j]&(state[p]<<1)) continue; //在右上方
                if((state[j]<<1)&state[p]) continue; //在左上方
                for(int s=1;s<=k;++s)
                {
                    if(king[j]+s>k) continue;
                    dp[i][j][s+king[j]]+=dp[i-1][p][s];
                }
            }
        }
    }

    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=cnt;++j)
            sum+=dp[i][j][k];
    cout<<sum<<endl;
    return 0;

}