从暴力到优化：区间素数查找的算法演进（Java实现）-优快云博客

boolean isPrime(int n) {
    if (n <= 1) return false;
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        if (n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

时间复杂度：O(n²) 问题：当n=10⁶时，需要循环近万亿次！

三、n/2优化：砍掉一半的无效劳动

关键发现

如果n能被大于n/2的数整除，对应的另一个因数必然小于2，但自然数最小因数是2。因此只需检查到n/2。

boolean isPrimeOptimizedHalf(int n) {
    if (n <= 1) return false;
    for (int i = 2; i <= n/2; i++) { // 终止条件改为n/2
        if (n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

时间复杂度：O(n²/2) → 仍为O(n²)量级优势：减少约50%循环次数痛点：当n=10⁶时仍需循环50万次

四、√n优化：数学思维的降维打击

数学原理

若n有因数a和b（n=a×b），必有一个因数≤√n。例如：

36=6×6 → 边界情况
24=3×8 → 3≤√24≈4.9
17=1×17 → 没有其他因数

boolean isPrimeSqrt(int n) {
    if (n <= 1) return false;
    int limit = (int)Math.sqrt(n); // 计算平方根
    for (int i = 2; i <= limit; i++) {
        if (n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

时间复杂度：O(n√n) 性能提升：当n=10⁶时，仅需循环1000次！ 通俗理解：就像找钥匙时，确定不在客厅就无需搜查整个房子

五、埃拉托斯特尼筛法：空间换时间的典范

算法思想

创建布尔数组标记数字状态
从2开始，标记所有倍数
未被标记的即为素数

void sieveOfEratosthenes(int max) {
    boolean[] isPrime = new boolean[max+1];
    Arrays.fill(isPrime, true);
    isPrime[0] = isPrime[1] = false;
    
    for (int i = 2; i*i <= max; i++) {
        if (isPrime[i]) {
            for (int j = i*i; j <= max; j += i) {
                isPrime[j] = false;
            }
        }
    }
    
    // 输出结果
    for (int i = 2; i <= max; i++) {
        if (isPrime[i]) System.out.print(i + " ");
    }
}

时间复杂度：O(n log log n) → 接近线性优势：找100万以内素数仅需约1毫秒 空间消耗：需要O(n)内存空间