16、量子搜索算法与击中时间的深入解析

量子搜索算法与击中时间的深入解析

1. 抽象搜索算法的推广

抽象搜索算法最初是通过修改标准量子行走的硬币得到的，其演化算符为 (U’ = U_0 D U R) ，其中 (U) 是原始标准量子行走的演化算符， (R) 是围绕与向量 (|D, v_0\rangle) 正交的超平面的反射算符， (v_0) 是标记顶点。不过，该算法可以进行推广，不必与量子行走相关联。

1.1 推广形式

推广后的抽象搜索算法由两个幺正算符 (U_1) 和 (U_2) 以及两个态 (|\psi_1\rangle) 和 (|\psi_2\rangle) 组成，需满足以下条件：
1. (U_2 = I - 2|\psi_2\rangle\langle\psi_2|) 。
2. (U_1|\psi_1\rangle = |\psi_1\rangle) ，且不存在其他特征值为 1 的特征向量。
3. (U_1) 和 (|\psi_1\rangle) 是实的。

此时，抽象搜索算法的演化算符为 (U’ = U_1U_2) ，初始态为 (|\psi_1\rangle) 。在一定约束条件下，最终态 ((U_1U_2)^{t_f}|\psi_1\rangle) 与包含搜索信息的态 (|\psi_2\rangle) 具有高保真度。

1.2 相关研究进展

空间搜索算法的思想源于 Benioff ，他指出直接应用 Grover 算法在格中搜索标记顶点时，时间复杂度并无改善。后续有更高效的算法被提出，如在超立方体上的搜索算法。相关研究还对在二维格中搜索标记顶点进行了分析，时间复杂度达到 (O(\sqrt{N} \log N)) 。此外，