书生.浦江大模型实战训练营-探索书生大模型能力边界

问题一
给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。

算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。

为了找到两个正序数组 `nums1` 和 `nums2` 的中位数，并且保证算法的时间复杂度为 O(log (m+n))，我们可以使用二分查找的方法来解决这个问题。这种方法利用了数组有序的特性，通过比较和移动来快速找到中位数。下面是解决这个问题的详细步骤和代码实现。

### 解题思路

1. **确定中位数的位置**：两个数组合并后的中位数位置取决于两个数组的总长度。如果总长度是奇数，则中位数是第 (m + n + 1) / 2 个数；如果总长度是偶数，则中位数是第 (m + n) / 2 个数和第 (m + n) / 2 + 1 个数的平均值。

2. **二分查找**：我们将较短的数组称为 `A`，较长的数组称为 `B`。我们使用二分查找法在数组 `A` 中找到一个分割点 `i`，这样 `A` 数组被分为两部分：左边有 `i-1` 个元素，右边有 `m-i` 个元素。然后我们在 `B` 数组中也找到一个分割点 `j`，使得 `B` 数组被分为两部分：左边有 `j-1` 个元素，右边有 `n-j` 个元素。

3. **满足条件**：我们要求 `max(left_A, left_B) <= min(right_A, right_B)`，其中 `left_A` 和 `left_B` 是两个数组左边部分的最大值，`right_A` 和 `right_B` 是两个数组右边部分的最小值。如果这个条件满足，我们就找到了中位数。

4. **调整分割点**：如果上述条件不满足，我们需要调整 `i` 和 `j` 的值，直到找到满足条件的 `i` 和 `j`。

5. **计算中位数**：一旦找到了满足条件的 `i` 和 `j`，我们就可以根据 `i` 和 `j` 计算出中位数。

### Python 实现

```python
def findMedianSortedArrays(nums1, nums2):
    # 确保 nums1 是较短的数组
    if len(nums1) > len(nums2):
        nums1, nums2 = nums2, nums1

    m, n = len(nums1), len(nums2)
    imin, imax = 0, m
    while imin <= imax:
        i = (imin + imax) // 2
        j = (m + n + 1) // 2 - i

        # 确保左边部分的最大值小于等于右边部分的最小值
        if i < m and j > 0 and nums1[i] < nums2[j - 1]:
            imin = i + 1
        elif i > 0 and j < n and nums1[i - 1] > nums2[j]:
            imax = i - 1
        else:
            # 找到了合适的分割点
            if i == 0: max_of_left = nums2[j - 1]
            elif j == 0: max_of_left = nums1[i - 1]
            else: max_of_left = max(nums1[i - 1], nums2[j - 1])

            if (m + n) % 2 == 1:
                return max_of_left

            if i == m: min_of_right = nums2[j]
            elif j == n: min_of_right = nums1[i]
            else: min_of_right = min(nums1[i], nums2[j])

            return (max_of_left + min_of_right) / 2.0

# 示例
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
print(findMedianSortedArrays(nums1, nums2))  # 输出: 2.0

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
print(findMedianSortedArrays(nums1, nums2))  # 输出: 2.5

解释

• 时间复杂度：二分查找的时间复杂度是 O(log(min(m, n)))，因为每次二分查找都会将搜索范围减半。因此，总的时间复杂度是 O(log(min(m, n)))，这满足了题目要求的 O(log(m + n))。
• 空间复杂度：算法只使用了常数级别的额外空间，因此空间复杂度是 O(1)。

通过这种方法，我们可以高效地找到两个正序数组的中位数，同时保证了算法的复杂度要求。