SVM原理与实践-优快云博客

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SVM 基本概念

将实例的特征向量（以二维为例）映射为空间中的一些点，就是如下图的实心点和空心点，它们属于不同的两类。

那么 SVM 的目的就是想要画出一条线，以“最好地”区分这两类点，以至如果以后有了新的点，这条线也能做出很好的分类。

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画线的标准是什么？/ 什么才叫这条线的效果好？

SVM 将会寻找可以区分两个类别并且能使边际（margin）最大的超平面（hyper plane）

边际（margin）是什么？

边际就是某一条线距离它两侧最近的点的距离之和。

比如下图中两条虚线构成的带状区域就是 margin，虚线是由距离中央实线最近的两个点所确定出来的。可以明显的看到但左图的 margin 比较小，右图的margin 明显变大也更接近我们的目标。

SVM 算法特性

训练好的模型的算法复杂度是由支持向量的个数决定的，而不是由数据的维度决定的。所以 SVM 不太容易产生 overfitting。
SVM 训练出来的模型完全依赖于支持向量，即使训练集里面所有非支持向量的点都被去除，重复训练过程，结果仍然会得到完全一样的模型。
一个 SVM 如果训练得出的支持向量个数比较少，那么SVM 训练出的模型比较容易被泛化。

SVM的公式推导

首先，我们假设超平面为： $\omega ^{T}X +b= 0$

假设2维特征向量：X=(x1,x2)

把b看作额外的weight，记作 $\omega _{0}$

则超平面的方程为： $\omega _{0}+\omega _{1}x+\omega _{2}x = 0$

所有超平面右上方的点满足： $\omega _{0}+\omega _{1}x+\omega _{2}x > 0$

所有超平面左下方的点满足： $\omega _{0}+\omega _{1}x+\omega _{2}x < 0$

调整 weight，使超平面定义如下：

H1： $\omega ^{T}x +b \geq 1$ for $y_{i}=+1$

H1： $\omega ^{T}x +b \leq -1$ for $y_{i}=-1$

把上述两式合并得到： $y_{i}*(\vec{\omega} \cdot \vec{x}+b) \geq 1,\forall i$

所有坐落在边际超平面上的点被称作支持向量(support vectors)

对于所有的支持向量，满足条件： $y_{i}*(\vec{\omega} \cdot \vec{x}+b) = 1$

欲找到具有“最大间隔”(maximum margin)的划分超平面，也就是找到参数w和b，使得γ最大，即：

上面的约束等价于如下约束：

利用 Karush-Kuhn-Tucker (KKT)条件和拉格朗日公式，可以推出 MMH 可以被表示为以下“决定边界 (decision boundary)”

把 $\vec{\omega }=\sum \alpha _{i}y_{i}x_{i}, \sum a _{i}y_{i}=0$ 带入回L可以得到

约束条件有：

最后我们得到决策边界：

$d(X^{T})=\sum_{i=1}^{l}y_{i}\alpha _{i}X_{i}X^{T}+b_{0}$

l是支持向量点的个数，因为大部分的点并不是支持向量点，只有个别在边际超平面上的点才是支持向量点。那么我们就只对属于

支持向量的点进行求和；

$X_{i}$ 为支持向量点的特征值；
$y_{i}$ 为支持向量点 $X_{i}$ 的类别标记，比如是+1还是-1；
$X^{T}$ 是要测试的实例，想知道它属于哪一类，带入以上方程
$\alpha _{i}$ 和 $b_{0}$ 都是单一数值型参数，由以上提到的最优算法得出， $\alpha _{i}$ 是拉格朗日乘数

SVM 求解案例

sklearn 简单例子

# sklearn 库中导入 svm 模块
from sklearn import svm

# 定义三个点和标签
X = [[2, 0], [1, 1], [2,3]]
y = [0, 0, 1]
# 定义分类器，clf 意为 classifier，是分类器的传统命名
clf = svm.SVC(kernel = 'linear')  # .SVC（）就是 SVM 的方程，参数 kernel 为线性核函数
# 训练分类器
clf.fit(X, y)  # 调用分类器的 fit 函数建立模型（即计算出划分超平面，且所有相关属性都保存在了分类器 cls 里）

# 打印分类器 clf 的一系列参数
print (clf)

# 支持向量
print (clf.support_vectors_)

# 属于支持向量的点的 index 
print (clf.support_)

# 在每一个类中有多少个点属于支持向量
print (clf.n_support_) 

# 预测一个新的点
print (clf.predict([[2,0]]))

输出结果：

SVC(C=1.0, cache_size=200, class_weight=None, coef0=0.0,
  decision_function_shape='ovr', degree=3, gamma='auto_deprecated',
  kernel='linear', max_iter=-1, probability=False, random_state=None,
  shrinking=True, tol=0.001, verbose=False)
[[1. 1.]
 [2. 3.]]
[1 2]
[1 1]
[0]

可以看到 SVM 找到的支持向量是（1,1）和（2,3）两个点，和我们上面的例子是符合的
输出的属于支持向量的点的 index 就是 1 和 2
由于找到了两个支持向量分别属于正类和负类，所以输出的每个类中属于支持向量的点的个数就是 1 和 1

sklearn 划分超平面

print(__doc__)

# 导入相关的包
import numpy as np
import pylab as pl  # 绘图功能
from sklearn import svm

# 创建 40 个点
np.random.seed(0) # 让每次运行程序生成的随机样本点不变
# 生成训练实例并保证是线性可分的
# np._r表示将矩阵在行方向上进行相连
# random.randn(a,b)表示生成 a 行 b 列的矩阵，且随机数服从标准正态分布
# array(20,2) - [2,2] 相当于给每一行的两个数都减去 2
X = np.r_[np.random.randn(20, 2) - [2, 2], np.random.randn(20, 2) + [2, 2]]
# 两个类别 每类有 20 个点，Y 为 40 行 1 列的列向量
Y = [0] * 20 + [1] * 20

# 建立 svm 模型
clf = svm.SVC(kernel='linear')
clf.fit(X, Y)

# 获得划分超平面
# 划分超平面原方程：w0x0 + w1x1 + b = 0
# 将其转化为点斜式方程，并把 x0 看作 x，x1 看作 y，b 看作 w2
# 点斜式：y = -(w0/w1)x - (w2/w1)
w = clf.coef_[0]  # w 是一个二维数据，coef 就是 w = [w0,w1]
a = -w[0] / w[1]  # 斜率
xx = np.linspace(-5, 5)  # 从 -5 到 5 产生一些连续的值（随机的）
# .intercept[0] 获得 bias，即 b 的值，b / w[1] 是截距
yy = a * xx - (clf.intercept_[0]) / w[1]  # 带入 x 的值，获得直线方程

# 画出和划分超平面平行且经过支持向量的两条线（斜率相同，截距不同）
b = clf.support_vectors_[0] # 取出第一个支持向量点
yy_down = a * xx + (b[1] - a * b[0]) 
b = clf.support_vectors_[-1] # 取出最后一个支持向量点
yy_up = a * xx + (b[1] - a * b[0])

# 查看相关的参数值
print("w: ", w)
print("a: ", a)
print("support_vectors_: ", clf.support_vectors_)
print("clf.coef_: ", clf.coef_)

# 在 scikit-learin 中，coef_ 保存了线性模型中划分超平面的参数向量。形式为(n_classes, n_features)。若 n_classes > 1，则为多分类问题，(1，n_features) 为二分类问题。

# 绘制划分超平面，边际平面和样本点
pl.plot(xx, yy, 'k-')
pl.plot(xx, yy_down, 'k--')
pl.plot(xx, yy_up, 'k--')
# 圈出支持向量
pl.scatter(clf.support_vectors_[:, 0], clf.support_vectors_[:, 1],
           s=80, facecolors='none')
pl.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=Y, cmap=pl.cm.Paired)

pl.axis('tight')
pl.show()

输出结果：

Automatically created module for IPython interactive environment
w:  [0.90230696 0.64821811]
a:  -1.391980476255765
support_vectors_:  [[-1.02126202  0.2408932 ]
 [-0.46722079 -0.53064123]
 [ 0.95144703  0.57998206]]
clf.coef_:  [[0.90230696 0.64821811]]

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