算法导论-趣题集锦（持续更新中）

By:             潘云登

Date:          2009-7-11

Update:      2009-7-17

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写在前面

1.          本文内容取自《算法导论》(第2版)》，题目多为书中习题。书与习题答案可以从这里（Part1，Part2）下载。

2.          所提供的代码都是参考书或习题答案编写，在gcc-4.3.3下简单测试过。

3.          Makefile文件可以参考《Makefile备忘录》中的范例编写。

4.          希望本文对您有所帮助。关于题目的理解和实现，都极有可能包含错误，欢迎随时提出意见和建议。

5.          Enjoy youself J

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题目索引

题目1. 两数之和	题目2. 霍纳规则	题目3. 逆序对
题目4. 区间计数	题目5. 选择问题	题目6. 两数组中位数

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题目1. 两数之和 (习题2.3-7)

237_sum.c

题目索引

请给出一个运行时间为Θ(n lg n)的算法，使之能在给定一个由n个整数构成的集合S和另一个整数x时，判断出S中是否存在有两个其和等于x的元素。

解题步骤：

1.        对数组S进行归并排序。

2.        构造数组S’={z : z=x-y, y∈S}，并排序。由于S已经有序，构造与排序可一并完成。

3.        删除S中重复的元素使仅保留一个，对S’进行同样的操作。

4.        合并S和S’，并保证合并后有序，这里可以使用归并排序的思想。

5.        如果在合并后的数组中存在连续两个相同的元素，并且这种元素的个数大于1，那么有解。

设想在合并后的数组中存在连续两个w，则w分别属于S和S’，那么S中存在y使得w=x-y，即x=y+w。因此，S中元素w和y的和为x。

步骤1的运行时间为Θ(n lg n)，其余步骤运行时间为Θ(n)，因此总的时间代价为Θ(n lg n)。

题目2. 霍纳规则 (习题2-3)

23_horner.c

题目索引

对多项式P(x)=∑_k=0..n a_kx^k 进行求值。

朴素多项式求值算法，使用双重循环计算多项式的每一项，P(x)=∑_k=0..n a_kx^k =a₀+a₁x+…+a_nxⁿ，运行时间为Θ(n²)。

霍纳规则，将多项式展开为如下形式后，P(x)=∑_k=0..n a_kx^k =a₀+x(a₁+x(a₂+…+x(a_n-1+xa_n)))，用累计计算将时间代价降低为Θ(n)。

 

y <- an i <- n while(i>=0)          do y <- ai + x * y                    i <- i-1

题目3. 逆序对 (习题2-4)

24_inversion.c

题目索引

设A[1..n]是一个包含n个不同数的数组。如果在i<j的情况下，有A[i]>A[j]，则(i,j)就称为A中的一个逆序对。给出一个算法，它能用Θ(n lg n)的最坏情况运行时间，确定n个元素的任何排列中逆序对的数目。

如果没有运行时间要求，则可以用插入排序的思想进行计数。实际上，逆序对正是基于比较的排序算法在循环过程中试图消除的。也就是说，在排序算法的循环过程中，能够对逆序对进行统计。因此，这里可以修改时间代价为Θ(n lg n)的归并排序，进行求解。

 

题目4. 区间计数 (习题8.2-4)

824_counting.c

题目索引

请给出一个算法，使之对于给定的介于0到k之间的n个整数进行预处理，并能在O(1)时间内，回答出输入的整数中有多少个落在区间[a..b]内。你给出的算法的预处理时间应是Θ(n+k)。

本题条件符合计数排序的假设，因此，可以利用计数排序的思想，在线性时间内，对每一个输入元素x，确定出小于x的元素个数C[x]。然后，C[b]-c[a-1]即为落在区间[a..b]内的整数个数。

题目5. 选择问题 (第9章)

c92_select.c

题目索引

在平均情况下，以线性时间，在一个由n个元素组成的集合中，选择第i小的元素。

一种用来解决选择问题的分治算法，以快速排序算法为模型。区别在于，这里只要递归地处理划分的一边。

int randomized_select(int *array, int p, int r, int i) {     int q, k;       if(p == r)           return array[p];       q = randomized_partition(array, p, r);     k = q-p+1;     if(i == k)           return array[q];     else if(i < k)           return randomized_select(array, p, q-1, i);     else           return randomized_select(array, q+1, r, i-k); }

题目6. 两数组中位数 (习题9.3-8)

938_median.c

题目索引

设X[1..n]和Y[1..n]为两个数组，每个都包含n个已排好序的数。给出一个求数组X和Y中所有2n个元素的中位数的、O(lg n)时间的算法。

O(lg n)的时间要求不允许线性比较数组的每一个元素，只能进行二分查找。假设两数组的中位数位于数组X中，且下标为k，那么数组X中有k个元素小于等于X[k]和n-k个元素大于等于X[k]，同时，数组Y中有n-k个元素小于等于X[k]和k个元素大于等于X[k]，并且Y[n−k]≤X[k]≤Y[n−k+1]。因此，本题解法可以使用二分法，从数组X的X[(1+n)/2]元素开始，递归检查上述条件是否成立，以确定中位数下标k。如果在数组X中无法确定k，可以对Y进行相同的查找。