算法导论小结(1)-插入排序及其扩展

By:             潘云登

Date:          2009-7-11

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写在前面

1.          本文内容对应《算法导论》(第2版)》第2章。

2.          总结了插入排序和它的几种扩展，用以开拓思路，其中最有意义的扩展当属shell排序。

3.          希望本文对您有所帮助，也欢迎您给我提意见和建议。

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插入排序

插入排序的工作机理与很多人打牌时，整理手中牌时的做法差不多。在开始摸牌时，左手是空的，牌面朝下放在桌上。接着，一次从桌上摸起一张牌，并将它插入到左手一把牌中的正确位置上。为了找到这张牌的正确位置，要将它与手中已有的牌从右到左地进行比较。无论什么时候，左手中的牌都是排好序的。如果输入数组已经是排好序的话，插入排序出现最佳情况，其运行时间是输入规模的一个线性函数。如果输入数组是逆序排列的，将出现最坏情况。平均情况与最坏情况一样，其时间代价是Θ(n²)。

void insertion_sort(int *array, int length) {     int i, j, key;       for(j=1; j<length; j++)     {                    key = array[j];                    i = j-1;                   while(i>=0 && array[i]>key)                   {                         array[i+1] = array[i];                         i--;                   }                   array[i+1] = key;     } }

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插入排序的递归版本

书中练习2.3-4。插入排序可以如下改写成一个递归过程：为排序A[1..n]，先递归地排序A[1..n-1]，然后再将A[n]插入到已排序的数组A[1..n-1]中去。对于插入排序的这一递归版本，可以用这样一个递归式表示其运行时间：T(n)=2T(n/2)+n (如果n=2^k,对于k>1)且T(n)=2 (如果n=2)，解为T(n)=Θ(n²)。

void recursive_insertion_sort(int *array, int length) {     int i, j, key;       if(length > 1)     {                   recursive_insertion_sort(array, length-1);     }         key = array[length-1];     i = length-2;     while(i>=0 && array[i]>key)     {                   array[i+1] = array[i];                   i--;     }     array[i+1] = key; }

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使用二分查找的插入排序

在原插入排序的while循环中，采用了一种线性查找策略，在已排序的子数组A[1..j-1]中反向扫描。因此，可以设想使用运行时间为Θ(lg n)的二分查找策略，来改善查找性能。然而，二分查找策略无法避免将比新插入元素大的那些元素向后移位，该版本的时间代价仍然是Θ(n²)。

/*  * 返回v应该插入的位置  */ int binary_search(int *array, int v, int low, int high) {     int mid;       while(low < high)     {                   mid = (int)((low+high)/2);                   if(v > array[mid])                   {                         low = mid+1;                          if(v < array[low])                                       return low;                   }                   else                   {                         high = mid-1;                         if(v > array[high])                                       return high;                   }     }       return array[low]>v ? low : low+1; }   void binary_insertion_sort(int *array, int length) {     int i, j, key, pos;       for(j=1; j<length; j++)     {                   key = array[j];                   pos = binary_search(array, key, 0, j-1);                   for(i=j; i>pos; i--)                   {                         array[i] = array[i-1];                   }                   array[pos] = key;     }   }

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shell

 

排序

shell排序的核心仍然使用插入排序，因为插入排序在基本有序的数组上表现极好。区别在于，shell排序在使用插入排序之前，对数组进行分组。这样，位于数组尾部的最小元素能够以大的步长(>1)、少量的比较和交换(<n)，移动到数组的首部。移动的步长逐次递减，最终归结为步长为1的常规插入排序。

    在实现上，可以把shell排序看作：将数组分组形成表格，并对表格的列进行插入排序；每一次排序后，减少列的数目，以形成更长的列；最终，表格只含有一列，然后使用常规插入排序对这个基本有序的列进行排序。一个简单的例子如下：

原数组 [ 13 14 94 33 82 25 59 94 65 23 45 27 73 25 39 10 ]
第一次分组及排序 (可以观察到数组尾部的10迅速地移动到了数组的首部) 13 14 94 33 82 25 59 94 65 23 45 27 73 25 39 10	10 14 73 25 23 13 27 94 33 39 25 59 94 65 82 45
第二次分组及排序 10 14 73 25 23 13 27 94 33 39 25 59 94 65 82 45 …………	10 14 13 25 23 33 27 25 59 39 65 73 45 94 82 94

        shell排序的运行时间分析非常复杂，不同的步长将得到不同的时间代价。这里，以表格的行长度的一半作为步长，这种选取方式虽然简单，但算法的时间代价也最大，为O(n²)。

void shell_sort(int *array, int length) {     int i, j, inc, key;       inc = length/2;     while(inc > 0)     {                   for(j=inc; j<length; j++)                   {                         key = array[j];                         i = j-inc;                         while(i>=0 && array[i]>key)                         {                                       array[i+inc] = array[i];                                       i -= inc;                         }                         array[i+inc] = key;                   }                   inc = inc/2;     } }